Álgebra Ejemplos

$\frac{4}{x^{2} + x - 6} - \frac{1}{x^{2} - 4} = \frac{2}{x^{2} + 5 x + 6}$

Paso 1

Resta $\frac{2}{x^{2} + 5 x + 6}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{4}{x^{2} + x - 6} - \frac{1}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x^{2} + 5 x + 6} = 0$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Factoriza $x^{2} + x - 6$ con el método AC.

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Paso 2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $1$ .

$- 2, 3$

Paso 2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{4}{(x - 2) (x + 3)} - \frac{1}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x^{2} + 5 x + 6} = 0$

Paso 2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{4}{(x - 2) (x + 3)} - \frac{1}{x^{2} - 2^{2}} - \frac{2}{x^{2} + 5 x + 6} = 0$

Paso 2.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{4}{(x - 2) (x + 3)} - \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{2}{x^{2} + 5 x + 6} = 0$

Paso 2.3

Factoriza $x^{2} + 5 x + 6$ con el método AC.

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Paso 2.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $5$ .

$2, 3$

Paso 2.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{4}{(x - 2) (x + 3)} - \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{2}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Paso 3

Obtén el denominador común

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{4}{(x - 2) (x + 3)}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{4}{(x - 2) (x + 3)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{2}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{4}{(x - 2) (x + 3)}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{4 (x + 2)}{(x - 2) (x + 3) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{2}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Paso 3.3

Multiplica $\frac{1}{(x + 2) (x - 2)}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{4 (x + 2)}{(x - 2) (x + 3) (x + 2)} - (\frac{1}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}) - \frac{2}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Paso 3.4

Multiplica $\frac{1}{(x + 2) (x - 2)}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{4 (x + 2)}{(x - 2) (x + 3) (x + 2)} - \frac{x + 3}{(x + 2) (x - 2) (x + 3)} - \frac{2}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Paso 3.5

Multiplica $\frac{2}{(x + 2) (x + 3)}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4 (x + 2)}{(x - 2) (x + 3) (x + 2)} - \frac{x + 3}{(x + 2) (x - 2) (x + 3)} - (\frac{2}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}) = 0$

Paso 3.6

Multiplica $\frac{2}{(x + 2) (x + 3)}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4 (x + 2)}{(x - 2) (x + 3) (x + 2)} - \frac{x + 3}{(x + 2) (x - 2) (x + 3)} - \frac{2 (x - 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} = 0$

Paso 3.7

Reordena los factores de $(x + 2) (x - 2) (x + 3)$ .

$\frac{4 (x + 2)}{(x - 2) (x + 3) (x + 2)} - \frac{x + 3}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} - \frac{2 (x - 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} = 0$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 (x + 2) - (x + 3) - 2 (x - 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} = 0$

Paso 5

Simplifica cada término.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x + 4 \cdot 2 - (x + 3) - 2 (x - 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} = 0$

Paso 5.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{4 x + 8 - (x + 3) - 2 (x - 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} = 0$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x + 8 - x - 1 \cdot 3 - 2 (x - 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} = 0$

Paso 5.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{4 x + 8 - x - 3 - 2 (x - 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} = 0$

Paso 5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x + 8 - x - 3 - 2 x - 2 \cdot - 2}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} = 0$

Paso 5.6

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{4 x + 8 - x - 3 - 2 x + 4}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} = 0$

Paso 6

Resta $x$ de $4 x$ .

$\frac{3 x + 8 - 3 - 2 x + 4}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} = 0$

Paso 7

Resta $2 x$ de $3 x$ .

$\frac{x + 8 - 3 + 4}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} = 0$

Paso 8

Resta $3$ de $8$ .

$\frac{x + 5 + 4}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} = 0$

Paso 9

Suma $5$ y $4$ .

$\frac{x + 9}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} = 0$

Paso 10

Establece el numerador igual a cero.

$x + 9 = 0$

Paso 11

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 9$