Álgebra Ejemplos

$\frac{2 x}{x - 3} + \frac{1}{x} = 3$

Paso 1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{2 x}{x - 3} + \frac{1}{x} - 3 = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{2 x}{x - 3} + \frac{1}{x} - 3$ .

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Paso 2.1

Para escribir $\frac{2 x}{x - 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 x}{x - 3} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} - 3 = 0$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{1}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 x}{x - 3} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - 3 = 0$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 3) x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{2 x}{x - 3}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 x \cdot x}{(x - 3) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - 3 = 0$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 x \cdot x}{(x - 3) x} + \frac{x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Paso 2.3.3

Reordena los factores de $(x - 3) x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{x (x - 3)} + \frac{x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x \cdot x + x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Paso 2.5.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.5.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 2.5.2.1.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 1 x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Paso 2.5.2.1.2

Reescribe $1$ como $- 2$ más $3$

$\frac{2 x^{2} + (- 2 + 3) x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Paso 2.5.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 3 x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Paso 2.5.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.5.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(2 x^{2} - 2 x) + 3 x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Paso 2.5.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{2 x (x - 1) + 3 (x - 1)}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Paso 2.5.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 1$ .

$\frac{(x - 1) (2 x + 3)}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Paso 2.6

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x (x - 3)}{x (x - 3)}$ .

$\frac{(x - 1) (2 x + 3)}{x (x - 3)} - 3 \cdot \frac{x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.7

Combina $- 3$ y $\frac{x (x - 3)}{x (x - 3)}$ .

$\frac{(x - 1) (2 x + 3)}{x (x - 3)} + \frac{- 3 (x (x - 3))}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x - 1) (2 x + 3) - 3 (x (x - 3))}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Expande $(x - 1) (2 x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.9.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x + 3) - 1 (2 x + 3) - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.9.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 3 - 1 (2 x + 3) - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.9.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.9.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.9.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.9.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.9.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.9.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.9.2.1.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 \cdot x - 1 (2 x) - 1 \cdot 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.9.2.1.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2 x - 1 \cdot 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.9.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2 x - 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.9.2.2

Resta $2 x$ de $3 x$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + x - 3 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.9.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.9.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 3 - 3 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.9.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 3 - 3 x^{2} - 3 x \cdot - 3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.9.5

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 3 - 3 x^{2} + 9 x}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.9.6

Resta $3 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + x - 3 + 9 x}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.9.7

Suma $x$ y $9 x$ .

$\frac{- x^{2} + 10 x - 3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.10

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 10 x - 3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.11

Factoriza $- 1$ de $10 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 10 x) - 3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.12

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 10 x)$ .

$\frac{- (x^{2} - 10 x) - 3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.13

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{- (x^{2} - 10 x) - 1 (3)}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.14

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - 10 x) - 1 (3)$ .

$\frac{- (x^{2} - 10 x + 3)}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.15

Reescribe $- (x^{2} - 10 x + 3)$ como $- 1 (x^{2} - 10 x + 3)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 10 x + 3)}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2} - 10 x + 3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 3

Establece el numerador igual a cero.

$x^{2} - 10 x + 3 = 0$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 10$ y $c = 3$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Paso 4.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.1.3

Resta $12$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.1.4

Reescribe $88$ como $2^{2} \cdot 22$ .

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Paso 4.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $88$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (22)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 22}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2}$

Paso 4.3.3

Simplifica $\frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2}$ .

$x = 5 \pm \sqrt{22}$

Paso 4.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 4.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Paso 4.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.3

Resta $12$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.4

Reescribe $88$ como $2^{2} \cdot 22$ .

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Paso 4.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $88$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (22)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 22}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2}$

Paso 4.4.3

Simplifica $\frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2}$ .

$x = 5 \pm \sqrt{22}$

Paso 4.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 5 + \sqrt{22}$

Paso 4.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 4.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Paso 4.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.3

Resta $12$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.4

Reescribe $88$ como $2^{2} \cdot 22$ .

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Paso 4.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $88$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (22)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 22}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2}$

Paso 4.5.3

Simplifica $\frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2}$ .

$x = 5 \pm \sqrt{22}$

Paso 4.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 5 - \sqrt{22}$

Paso 4.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 5 + \sqrt{22}, 5 - \sqrt{22}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 5 + \sqrt{22}, 5 - \sqrt{22}$

Forma decimal:

$x = 9.69041575 \dots, 0.30958424 \dots$