Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{4}{x} + 1 = 0$

Paso 1

Reordena los términos.

$- \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Paso 2

Para escribir $- \frac{4}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $x^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{4}{x}$ por $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{4 x}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Paso 3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{4 x}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Paso 3.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{4 x}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{4 x}{x^{1 + 1}} + \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Paso 3.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 4 x + 1}{x^{2}} + 1 = 0$

Paso 5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{- 4 x + 1}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} = 0$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 4 x + 1 + x^{2}}{x^{2}} = 0$

Paso 7

Reordena los términos.

$\frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2}} = 0$

Paso 8

Establece el numerador igual a cero.

$x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Paso 9

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 9.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 9.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 4$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.3.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 9.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.3.1.3

Resta $4$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.3.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 9.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 9.3.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

Paso 9.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 9.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.4.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 9.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.4.1.3

Resta $4$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.4.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 9.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 9.4.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

Paso 9.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 2 + \sqrt{3}$

Paso 9.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 9.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.5.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 9.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.5.1.3

Resta $4$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.5.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 9.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 9.5.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

Paso 9.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 2 - \sqrt{3}$

Paso 9.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Forma decimal:

$x = 3.73205080 \dots, 0.26794919 \dots$