Álgebra Ejemplos

$\frac{6}{z} - \frac{9}{z - 2} = \frac{1}{7}$

Paso 1

Resta $\frac{1}{7}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{6}{z} - \frac{9}{z - 2} - \frac{1}{7} = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{6}{z} - \frac{9}{z - 2} - \frac{1}{7}$ .

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Paso 2.1

Obtén el denominador común

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Paso 2.1.1

Multiplica $\frac{6}{z}$ por $\frac{(z - 2) \cdot 7}{(z - 2) \cdot 7}$ .

$\frac{6}{z} \cdot \frac{(z - 2) \cdot 7}{(z - 2) \cdot 7} - \frac{9}{z - 2} - \frac{1}{7} = 0$

Paso 2.1.2

Multiplica $\frac{6}{z}$ por $\frac{(z - 2) \cdot 7}{(z - 2) \cdot 7}$ .

$\frac{6 ((z - 2) \cdot 7)}{z ((z - 2) \cdot 7)} - \frac{9}{z - 2} - \frac{1}{7} = 0$

Paso 2.1.3

Multiplica $\frac{9}{z - 2}$ por $\frac{z \cdot 7}{z \cdot 7}$ .

$\frac{6 ((z - 2) \cdot 7)}{z ((z - 2) \cdot 7)} - (\frac{9}{z - 2} \cdot \frac{z \cdot 7}{z \cdot 7}) - \frac{1}{7} = 0$

Paso 2.1.4

Multiplica $\frac{9}{z - 2}$ por $\frac{z \cdot 7}{z \cdot 7}$ .

$\frac{6 ((z - 2) \cdot 7)}{z ((z - 2) \cdot 7)} - \frac{9 (z \cdot 7)}{(z - 2) (z \cdot 7)} - \frac{1}{7} = 0$

Paso 2.1.5

Multiplica $\frac{1}{7}$ por $\frac{z (z - 2)}{z (z - 2)}$ .

$\frac{6 ((z - 2) \cdot 7)}{z ((z - 2) \cdot 7)} - \frac{9 (z \cdot 7)}{(z - 2) (z \cdot 7)} - (\frac{1}{7} \cdot \frac{z (z - 2)}{z (z - 2)}) = 0$

Paso 2.1.6

Multiplica $\frac{1}{7}$ por $\frac{z (z - 2)}{z (z - 2)}$ .

$\frac{6 ((z - 2) \cdot 7)}{z ((z - 2) \cdot 7)} - \frac{9 (z \cdot 7)}{(z - 2) (z \cdot 7)} - \frac{z (z - 2)}{7 (z (z - 2))} = 0$

Paso 2.1.7

Reordena los factores de $z ((z - 2) \cdot 7)$ .

$\frac{6 ((z - 2) \cdot 7)}{7 z (z - 2)} - \frac{9 (z \cdot 7)}{(z - 2) (z \cdot 7)} - \frac{z (z - 2)}{7 (z (z - 2))} = 0$

Paso 2.1.8

Reordena los factores de $(z - 2) (z \cdot 7)$ .

$\frac{6 ((z - 2) \cdot 7)}{7 z (z - 2)} - \frac{9 (z \cdot 7)}{7 z (z - 2)} - \frac{z (z - 2)}{7 (z (z - 2))} = 0$

Paso 2.1.9

Reordena los factores de $7 (z (z - 2))$ .

$\frac{6 ((z - 2) \cdot 7)}{7 z (z - 2)} - \frac{9 (z \cdot 7)}{7 z (z - 2)} - \frac{z (z - 2)}{7 z (z - 2)} = 0$

Paso 2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 ((z - 2) \cdot 7) - 9 (z \cdot 7) - z (z - 2)}{7 z (z - 2)} = 0$

Paso 2.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 (z \cdot 7 - 2 \cdot 7) - 9 (z \cdot 7) - z (z - 2)}{7 z (z - 2)} = 0$

Paso 2.3.2

Mueve $7$ a la izquierda de $z$ .

$\frac{6 (7 \cdot z - 2 \cdot 7) - 9 (z \cdot 7) - z (z - 2)}{7 z (z - 2)} = 0$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 2$ por $7$ .

$\frac{6 (7 \cdot z - 14) - 9 (z \cdot 7) - z (z - 2)}{7 z (z - 2)} = 0$

Paso 2.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 (7 z) + 6 \cdot - 14 - 9 (z \cdot 7) - z (z - 2)}{7 z (z - 2)} = 0$

Paso 2.3.5

Multiplica $7$ por $6$ .

$\frac{42 z + 6 \cdot - 14 - 9 (z \cdot 7) - z (z - 2)}{7 z (z - 2)} = 0$

Paso 2.3.6

Multiplica $6$ por $- 14$ .

$\frac{42 z - 84 - 9 (z \cdot 7) - z (z - 2)}{7 z (z - 2)} = 0$

Paso 2.3.7

Mueve $7$ a la izquierda de $z$ .

$\frac{42 z - 84 - 9 (7 \cdot z) - z (z - 2)}{7 z (z - 2)} = 0$

Paso 2.3.8

Multiplica $7$ por $- 9$ .

$\frac{42 z - 84 - 63 z - z (z - 2)}{7 z (z - 2)} = 0$

Paso 2.3.9

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{42 z - 84 - 63 z - z \cdot z - z \cdot - 2}{7 z (z - 2)} = 0$

Paso 2.3.10

Multiplica $z$ por $z$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.10.1

Mueve $z$ .

$\frac{42 z - 84 - 63 z - (z \cdot z) - z \cdot - 2}{7 z (z - 2)} = 0$

Paso 2.3.10.2

Multiplica $z$ por $z$ .

$\frac{42 z - 84 - 63 z - z^{2} - z \cdot - 2}{7 z (z - 2)} = 0$

Paso 2.3.11

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{42 z - 84 - 63 z - z^{2} + 2 z}{7 z (z - 2)} = 0$

Paso 2.4

Resta $63 z$ de $42 z$ .

$\frac{- 21 z - 84 - z^{2} + 2 z}{7 z (z - 2)} = 0$

Paso 2.5

Suma $- 21 z$ y $2 z$ .

$\frac{- 19 z - 84 - z^{2}}{7 z (z - 2)} = 0$

Paso 2.6

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.6.1

Reordena los términos.

$\frac{- z^{2} - 19 z - 84}{7 z (z - 2)} = 0$

Paso 2.6.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 84 = 84$ y cuya suma es $b = - 19$ .

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Paso 2.6.2.1

Factoriza $- 19$ de $- 19 z$ .

$\frac{- z^{2} - 19 (z) - 84}{7 z (z - 2)} = 0$

Paso 2.6.2.2

Reescribe $- 19$ como $- 7$ más $- 12$

$\frac{- z^{2} + (- 7 - 12) z - 84}{7 z (z - 2)} = 0$

Paso 2.6.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- z^{2} - 7 z - 12 z - 84}{7 z (z - 2)} = 0$

Paso 2.6.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.6.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- z^{2} - 7 z) - 12 z - 84}{7 z (z - 2)} = 0$

Paso 2.6.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{z (- z - 7) + 12 (- z - 7)}{7 z (z - 2)} = 0$

Paso 2.6.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- z - 7$ .

$\frac{(- z - 7) (z + 12)}{7 z (z - 2)} = 0$

Paso 2.7

Factoriza $- 1$ de $- z$ .

$\frac{(- (z) - 7) (z + 12)}{7 z (z - 2)} = 0$

Paso 2.8

Reescribe $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$\frac{(- (z) - 1 (7)) (z + 12)}{7 z (z - 2)} = 0$

Paso 2.9

Factoriza $- 1$ de $- (z) - 1 (7)$ .

$\frac{- (z + 7) (z + 12)}{7 z (z - 2)} = 0$

Paso 2.10

Reescribe $- (z + 7)$ como $- 1 (z + 7)$ .

$\frac{- 1 (z + 7) (z + 12)}{7 z (z - 2)} = 0$

Paso 2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(z + 7) (z + 12)}{7 z (z - 2)} = 0$

Paso 3

Establece el numerador igual a cero.

$(z + 7) (z + 12) = 0$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $z$ .

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Paso 4.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$z + 7 = 0$

$z + 12 = 0$

Paso 4.2

Establece $z + 7$ igual a $0$ y resuelve $z$ .

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Paso 4.2.1

Establece $z + 7$ igual a $0$ .

$z + 7 = 0$

Paso 4.2.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$z = - 7$

Paso 4.3

Establece $z + 12$ igual a $0$ y resuelve $z$ .

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Paso 4.3.1

Establece $z + 12$ igual a $0$ .

$z + 12 = 0$

Paso 4.3.2

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$z = - 12$

Paso 4.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(z + 7) (z + 12) = 0$ verdadera.

$z = - 7, - 12$