Álgebra Ejemplos

${(\frac{1}{9})}^{a + 1} = 81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a}$

Paso 1

Resta $81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a}$ de ambos lados de la ecuación.

${(\frac{1}{9})}^{a + 1} - 81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a} = 0$

Paso 2

Simplifica ${(\frac{1}{9})}^{a + 1} - 81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a}$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1^{a + 1}}{9^{a + 1}} - 81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a} = 0$

Paso 2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{9^{a + 1}} - 81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a} = 0$

Paso 2.1.3

Multiplica $- 81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a}$ .

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Paso 2.1.3.1

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - ({(3^{3})}^{2 - a} \cdot 81^{a + 1}) = 0$

Paso 2.1.3.2

Multiplica los exponentes en ${(3^{3})}^{2 - a}$ .

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Paso 2.1.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{3 (2 - a)} \cdot 81^{a + 1}) = 0$

Paso 2.1.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{3 \cdot 2 + 3 (- a)} \cdot 81^{a + 1}) = 0$

Paso 2.1.3.2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{6 + 3 (- a)} \cdot 81^{a + 1}) = 0$

Paso 2.1.3.2.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{6 - 3 a} \cdot 81^{a + 1}) = 0$

Paso 2.1.3.3

Reescribe $81$ como $3^{4}$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{6 - 3 a} \cdot {(3^{4})}^{a + 1}) = 0$

Paso 2.1.3.4

Multiplica los exponentes en ${(3^{4})}^{a + 1}$ .

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Paso 2.1.3.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{6 - 3 a} \cdot 3^{4 (a + 1)}) = 0$

Paso 2.1.3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{6 - 3 a} \cdot 3^{4 a + 4 \cdot 1}) = 0$

Paso 2.1.3.4.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{6 - 3 a} \cdot 3^{4 a + 4}) = 0$

Paso 2.1.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{9^{a + 1}} - 3^{6 - 3 a + 4 a + 4} = 0$

Paso 2.1.3.6

Suma $6$ y $4$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - 3^{- 3 a + 4 a + 10} = 0$

Paso 2.1.3.7

Suma $- 3 a$ y $4 a$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - 3^{a + 10} = 0$

Paso 2.2

Para escribir $- 3^{a + 10}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9^{a + 1}}{9^{a + 1}}$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - 3^{a + 10} \cdot \frac{9^{a + 1}}{9^{a + 1}} = 0$

Paso 2.3

Combina $- 3^{a + 10}$ y $\frac{9^{a + 1}}{9^{a + 1}}$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} + \frac{- 3^{a + 10} \cdot 9^{a + 1}}{9^{a + 1}} = 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - 3^{a + 10} \cdot 9^{a + 1}}{9^{a + 1}} = 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{1^{3} - 3^{a + 10} \cdot 9^{a + 1}}{9^{a + 1}} = 0$

Paso 2.5.2

Reescribe $3^{a + 10} \cdot 9^{a + 1}$ como ${(3^{a + 4})}^{3}$ .

$\frac{1^{3} - {(3^{a + 4})}^{3}}{9^{a + 1}} = 0$

Paso 2.5.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = 3^{a + 4}$ .

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1^{2} + 1 \cdot 3^{a + 4} + {(3^{a + 4})}^{2})}{9^{a + 1}} = 0$

Paso 2.5.4

Simplifica.

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Paso 2.5.4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1 + 1 \cdot 3^{a + 4} + {(3^{a + 4})}^{2})}{9^{a + 1}} = 0$

Paso 2.5.4.2

Multiplica $3^{a + 4}$ por $1$ .

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + {(3^{a + 4})}^{2})}{9^{a + 1}} = 0$

Paso 2.5.4.3

Multiplica los exponentes en ${(3^{a + 4})}^{2}$ .

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Paso 2.5.4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{(a + 4) \cdot 2})}{9^{a + 1}} = 0$

Paso 2.5.4.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{a \cdot 2 + 4 \cdot 2})}{9^{a + 1}} = 0$

Paso 2.5.4.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $a$ .

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{2 \cdot a + 4 \cdot 2})}{9^{a + 1}} = 0$

Paso 2.5.4.3.4

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8})}{9^{a + 1}} = 0$

Paso 3

Establece el numerador igual a cero.

$(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8}) = 0$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $a$ .

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Paso 4.1

Simplifica $(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8})$ .

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Paso 4.1.1

Expande $(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8})$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$1 \cdot 1 + 1 \cdot 3^{a + 4} + 1 \cdot 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} \cdot 1 - 3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Paso 4.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 + 1 \cdot 3^{a + 4} + 1 \cdot 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} \cdot 1 - 3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $3^{a + 4}$ por $1$ .

$1 + 3^{a + 4} + 1 \cdot 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} \cdot 1 - 3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $3^{2 a + 8}$ por $1$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} \cdot 1 - 3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 1 \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Paso 4.1.2.1.5

Reescribe $- 1 \cdot 3^{a + 4}$ como $- 3^{a + 4}$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Paso 4.1.2.1.6

Multiplica $3^{a + 4}$ por $3^{a + 4}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.2.1.6.1

Mueve $3^{a + 4}$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - (3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4}) - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Paso 4.1.2.1.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{a + 4 + a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Paso 4.1.2.1.6.3

Suma $a$ y $a$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 4 + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Paso 4.1.2.1.6.4

Suma $4$ y $4$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Paso 4.1.2.1.7

Multiplica $3^{a + 4}$ por $3^{2 a + 8}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.2.1.7.1

Mueve $3^{2 a + 8}$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 8} - (3^{2 a + 8} \cdot 3^{a + 4}) = 0$

Paso 4.1.2.1.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 8} - 3^{2 a + 8 + a + 4} = 0$

Paso 4.1.2.1.7.3

Suma $2 a$ y $a$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 8} - 3^{3 a + 8 + 4} = 0$

Paso 4.1.2.1.7.4

Suma $8$ y $4$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 8} - 3^{3 a + 12} = 0$

Paso 4.1.2.2

Combina los términos opuestos en $1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 8} - 3^{3 a + 12}$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Resta $3^{a + 4}$ de $3^{a + 4}$ .

$1 + 0 + 3^{2 a + 8} - 3^{2 a + 8} - 3^{3 a + 12} = 0$

Paso 4.1.2.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$1 + 3^{2 a + 8} - 3^{2 a + 8} - 3^{3 a + 12} = 0$

Paso 4.1.2.2.3

Resta $3^{2 a + 8}$ de $3^{2 a + 8}$ .

$1 + 0 - 3^{3 a + 12} = 0$

Paso 4.1.2.2.4

Suma $1$ y $0$ .

$1 - 3^{3 a + 12} = 0$

Paso 4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3^{3 a + 12} = - 1$

Paso 4.3

Divide cada término en $- 3^{3 a + 12} = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.3.1

Divide cada término en $- 3^{3 a + 12} = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 3^{3 a + 12}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{3^{3 a + 12}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.3.2.2

Divide $3^{3 a + 12}$ por $1$ .

$3^{3 a + 12} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$3^{3 a + 12} = 1$

Paso 4.4

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3^{3 a + 12}) = \ln (1)$

Paso 4.5

Expande $\ln (3^{3 a + 12})$ ; para ello, mueve $3 a + 12$ fuera del logaritmo.

$(3 a + 12) \ln (3) = \ln (1)$

Paso 4.6

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 a \ln (3) + 12 \ln (3) = \ln (1)$

Paso 4.7

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.7.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$3 a \ln (3) + 12 \ln (3) = 0$

Paso 4.8

Resta $12 \ln (3)$ de ambos lados de la ecuación.

$3 a \ln (3) = - 12 \ln (3)$

Paso 4.9

Divide cada término en $3 a \ln (3) = - 12 \ln (3)$ por $3 \ln (3)$ y simplifica.

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Paso 4.9.1

Divide cada término en $3 a \ln (3) = - 12 \ln (3)$ por $3 \ln (3)$ .

$\frac{3 a \ln (3)}{3 \ln (3)} = \frac{- 12 \ln (3)}{3 \ln (3)}$

Paso 4.9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.9.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 a \ln (3)}{3 \ln (3)} = \frac{- 12 \ln (3)}{3 \ln (3)}$

Paso 4.9.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{a \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- 12 \ln (3)}{3 \ln (3)}$

Paso 4.9.2.2

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Paso 4.9.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{a \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- 12 \ln (3)}{3 \ln (3)}$

Paso 4.9.2.2.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{- 12 \ln (3)}{3 \ln (3)}$

Paso 4.9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.9.3.1

Cancela el factor común de $- 12$ y $3$ .

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Paso 4.9.3.1.1

Factoriza $3$ de $- 12 \ln (3)$ .

$a = \frac{3 (- 4 \ln (3))}{3 \ln (3)}$

Paso 4.9.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.9.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 \ln (3)$ .

$a = \frac{3 (- 4 \ln (3))}{3 \ln (3)}$

Paso 4.9.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$a = \frac{3 (- 4 \ln (3))}{3 \ln (3)}$

Paso 4.9.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$a = \frac{- 4 \ln (3)}{\ln (3)}$

Paso 4.9.3.2

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Paso 4.9.3.2.1

Cancela el factor común.

$a = \frac{- 4 \ln (3)}{\ln (3)}$

Paso 4.9.3.2.2

Divide $- 4$ por $1$ .

$a = - 4$