Álgebra Ejemplos

$\ln (x - 3) + \ln (x + 2) = \ln (x - 7)$

Paso 1

Resta $\ln (x - 7)$ de ambos lados de la ecuación.

$\ln (x - 3) + \ln (x + 2) - \ln (x - 7) = 0$

Paso 2

Simplifica $\ln (x - 3) + \ln (x + 2) - \ln (x - 7)$ .

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Paso 2.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 3) (x + 2)) - \ln (x - 7) = 0$

Paso 2.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{(x - 3) (x + 2)}{x - 7}) = 0$

Paso 3

Reescribe $\ln (\frac{(x - 3) (x + 2)}{x - 7}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{(x - 3) (x + 2)}{x - 7}$

Paso 4

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$(x - 3) (x + 2) = e^{0} (x - 7)$

Paso 5

Simplifica $e^{0} (x - 7)$ .

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Paso 5.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$(x - 3) (x + 2) = 1 (x - 7)$

Paso 5.2

Multiplica $x - 7$ por $1$ .

$(x - 3) (x + 2) = x - 7$

Paso 6

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$(x - 3) (x + 2) - x = - 7$

Paso 6.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1

Expande $(x - 3) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x + 2) - 3 (x + 2) - x = - 7$

Paso 6.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 2 - 3 (x + 2) - x = - 7$

Paso 6.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2 - x = - 7$

Paso 6.2.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2 - x = - 7$

Paso 6.2.2.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot x - 3 x - 3 \cdot 2 - x = - 7$

Paso 6.2.2.1.3

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$x^{2} + 2 x - 3 x - 6 - x = - 7$

Paso 6.2.2.2

Resta $3 x$ de $2 x$ .

$x^{2} - x - 6 - x = - 7$

Paso 6.3

Resta $x$ de $- x$ .

$x^{2} - 2 x - 6 = - 7$

Paso 7

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.1

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 2 x = - 7 + 6$

Paso 7.2

Suma $- 7$ y $6$ .

$x^{2} - 2 x = - 1$

Paso 8

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Paso 9

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 9.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Paso 9.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 9.3

Reescribe el polinomio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Paso 9.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 10

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 11

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$