Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{- 4} + y^{- 4}}{x^{- 3} + y^{- 3}}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{4}} + y^{- 4}}{x^{- 3} + y^{- 3}}$

Paso 1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{y^{4}}}{x^{- 3} + y^{- 3}}$

Paso 1.3

Para escribir $\frac{1}{x^{4}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y^{4}}{y^{4}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{y^{4}}{y^{4}} + \frac{1}{y^{4}}}{x^{- 3} + y^{- 3}}$

Paso 1.4

Para escribir $\frac{1}{y^{4}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{y^{4}}{y^{4}} + \frac{1}{y^{4}} \cdot \frac{x^{4}}{x^{4}}}{x^{- 3} + y^{- 3}}$

Paso 1.5

Escribe cada expresión con un denominador común de $x^{4} y^{4}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.5.1

Multiplica $\frac{1}{x^{4}}$ por $\frac{y^{4}}{y^{4}}$ .

$\frac{\frac{y^{4}}{x^{4} y^{4}} + \frac{1}{y^{4}} \cdot \frac{x^{4}}{x^{4}}}{x^{- 3} + y^{- 3}}$

Paso 1.5.2

Multiplica $\frac{1}{y^{4}}$ por $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ .

$\frac{\frac{y^{4}}{x^{4} y^{4}} + \frac{x^{4}}{y^{4} x^{4}}}{x^{- 3} + y^{- 3}}$

Paso 1.5.3

Reordena los factores de $y^{4} x^{4}$ .

$\frac{\frac{y^{4}}{x^{4} y^{4}} + \frac{x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{x^{- 3} + y^{- 3}}$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{x^{- 3} + y^{- 3}}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $x^{- 3}$ como ${(x^{- 1})}^{3}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{{(x^{- 1})}^{3} + y^{- 3}}$

Paso 2.2

Reescribe $y^{- 3}$ como ${(y^{- 1})}^{3}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{{(x^{- 1})}^{3} + {(y^{- 1})}^{3}}$

Paso 2.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x^{- 1}$ y $b = y^{- 1}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{(x^{- 1} + y^{- 1}) ({(x^{- 1})}^{2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{(\frac{1}{x} + y^{- 1}) ({(x^{- 1})}^{2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Paso 2.4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) ({(x^{- 1})}^{2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Paso 2.4.3

Para escribir $\frac{1}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{(\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y}) ({(x^{- 1})}^{2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Paso 2.4.4

Para escribir $\frac{1}{y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{(\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x}) ({(x^{- 1})}^{2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Paso 2.4.5

Escribe cada expresión con un denominador común de $x y$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.4.5.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{(\frac{y}{x y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x}) ({(x^{- 1})}^{2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Paso 2.4.5.2

Multiplica $\frac{1}{y}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{(\frac{y}{x y} + \frac{x}{y x}) ({(x^{- 1})}^{2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Paso 2.4.5.3

Reordena los factores de $y x$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{(\frac{y}{x y} + \frac{x}{x y}) ({(x^{- 1})}^{2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Paso 2.4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} ({(x^{- 1})}^{2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Paso 2.4.7

Multiplica los exponentes en ${(x^{- 1})}^{2}$ .

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Paso 2.4.7.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (x^{- 1 \cdot 2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Paso 2.4.7.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (x^{- 2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Paso 2.4.8

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x^{2}} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Paso 2.4.9

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Paso 2.4.10

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Paso 2.4.11

Multiplica $\frac{1}{y}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y x} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Paso 2.4.12

Multiplica los exponentes en ${(y^{- 1})}^{2}$ .

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Paso 2.4.12.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y x} + y^{- 1 \cdot 2})}$

Paso 2.4.12.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y x} + y^{- 2})}$

Paso 2.4.13

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y x} + \frac{1}{y^{2}})}$

Paso 2.4.14

Para escribir $\frac{1}{x^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y x} + \frac{1}{y^{2}})}$

Paso 2.4.15

Para escribir $- \frac{1}{y x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{y^{2}})}$

Paso 2.4.16

Escribe cada expresión con un denominador común de $y x^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.4.16.1

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x^{2} y} - \frac{1}{y x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{y^{2}})}$

Paso 2.4.16.2

Multiplica $\frac{1}{y x}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x^{2} y} - \frac{x}{y x \cdot x} + \frac{1}{y^{2}})}$

Paso 2.4.16.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x^{2} y} - \frac{x}{y (x^{1} x)} + \frac{1}{y^{2}})}$

Paso 2.4.16.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x^{2} y} - \frac{x}{y (x^{1} x^{1})} + \frac{1}{y^{2}})}$

Paso 2.4.16.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x^{2} y} - \frac{x}{y x^{1 + 1}} + \frac{1}{y^{2}})}$

Paso 2.4.16.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x^{2} y} - \frac{x}{y x^{2}} + \frac{1}{y^{2}})}$

Paso 2.4.16.7

Reordena los factores de $y x^{2}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x^{2} y} - \frac{x}{x^{2} y} + \frac{1}{y^{2}})}$

Paso 2.4.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y - x}{x^{2} y} + \frac{1}{y^{2}})}$

Paso 2.4.18

Para escribir $\frac{y - x}{x^{2} y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y - x}{x^{2} y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y^{2}})}$

Paso 2.4.19

Para escribir $\frac{1}{y^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y - x}{x^{2} y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}})}$

Paso 2.4.20

Escribe cada expresión con un denominador común de $x^{2} y^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.4.20.1

Multiplica $\frac{y - x}{x^{2} y}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{(y - x) y}{x^{2} y \cdot y} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}})}$

Paso 2.4.20.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{(y - x) y}{x^{2} (y^{1} y)} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}})}$

Paso 2.4.20.3

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{(y - x) y}{x^{2} (y^{1} y^{1})} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}})}$

Paso 2.4.20.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{(y - x) y}{x^{2} y^{1 + 1}} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}})}$

Paso 2.4.20.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{(y - x) y}{x^{2} y^{2}} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}})}$

Paso 2.4.20.6

Multiplica $\frac{1}{y^{2}}$ por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{(y - x) y}{x^{2} y^{2}} + \frac{x^{2}}{y^{2} x^{2}})}$

Paso 2.4.20.7

Reordena los factores de $y^{2} x^{2}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{(y - x) y}{x^{2} y^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2} y^{2}})}$

Paso 2.4.21

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{(y - x) y + x^{2}}{x^{2} y^{2}}}$

Paso 2.4.22

Reescribe $\frac{(y - x) y + x^{2}}{x^{2} y^{2}}$ en forma factorizada.

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Paso 2.4.22.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y \cdot y - x y + x^{2}}{x^{2} y^{2}}}$

Paso 2.4.22.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y^{2} - x y + x^{2}}{x^{2} y^{2}}}$

Paso 3

Multiplica $\frac{y + x}{x y}$ por $\frac{y^{2} - x y + x^{2}}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}{x y (x^{2} y^{2})}}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}{x^{2} x^{1} y \cdot y^{2}}}$

Paso 4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}{x^{2 + 1} y \cdot y^{2}}}$

Paso 4.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}{x^{3} y \cdot y^{2}}}$

Paso 4.4

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.1

Mueve $y^{2}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}{x^{3} (y^{2} y)}}$

Paso 4.4.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 4.4.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}{x^{3} (y^{2} y^{1})}}$

Paso 4.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}{x^{3} y^{2 + 1}}}$

Paso 4.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}{x^{3} y^{3}}}$

Paso 5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}} \cdot \frac{x^{3} y^{3}}{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}$

Paso 6

Cancela el factor común de $x^{3} y^{3}$ .

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Paso 6.1

Factoriza $x^{3} y^{3}$ de $x^{4} y^{4}$ .

$\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{3} y^{3} (x y)} \cdot \frac{x^{3} y^{3}}{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{3} y^{3} (x y)} \cdot \frac{x^{3} y^{3}}{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{4} + x^{4}}{x y} \cdot \frac{1}{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}$

Paso 7

Multiplica $\frac{y^{4} + x^{4}}{x y}$ por $\frac{1}{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}$ .

$\frac{y^{4} + x^{4}}{x y (y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}$