Álgebra Ejemplos

$x^{8} - 3 x^{4} + 2 = 0$

Paso 1

Reescribe $x^{8}$ como ${(x^{4})}^{2}$ .

${(x^{4})}^{2} - 3 x^{4} + 2 = 0$

Paso 2

Sea $u = x^{4}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{4}$ .

$u^{2} - 3 u + 2 = 0$

Paso 3

Factoriza $u^{2} - 3 u + 2$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 2, - 1$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 2) (u - 1) = 0$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4}$ .

$(x^{4} - 2) (x^{4} - 1) = 0$

Paso 5

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x^{4} - 2) ({(x^{2})}^{2} - 1) = 0$

Paso 6

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(x^{4} - 2) ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) = 0$

Paso 7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 1$ .

$(x^{4} - 2) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1)) = 0$

Paso 8

Factoriza.

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Paso 8.1

Simplifica.

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Paso 8.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(x^{4} - 2) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Paso 8.1.2

Factoriza.

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Paso 8.1.2.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(x^{4} - 2) ((x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Paso 8.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{4} - 2) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Paso 8.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{4} - 2) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{4} - 2 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 10

Establece $x^{4} - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $x^{4} - 2$ igual a $0$ .

$x^{4} - 2 = 0$

Paso 10.2

Resuelve $x^{4} - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 10.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{4} = 2$

Paso 10.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{2}$

Paso 10.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 10.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt[4]{2}$

Paso 10.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt[4]{2}$

Paso 10.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt[4]{2}, - \sqrt[4]{2}$

Paso 11

Establece $x^{2} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x^{2} + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Paso 11.2

Resuelve $x^{2} + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 1$

Paso 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 11.2.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 11.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 11.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 11.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 11.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 12

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 12.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 13

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 13.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 14

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{4} - 2) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = \sqrt[4]{2}, - \sqrt[4]{2}, i, - i, - 1, 1$