Álgebra Ejemplos

$\frac{\frac{x - 1}{x} - \frac{- 4}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x} + \frac{x + 1}{x - 1}}$

Paso 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x (x - 1)$ .

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Paso 1.1

Multiplica $\frac{\frac{x - 1}{x} - \frac{- 4}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x} + \frac{x + 1}{x - 1}}$ por $\frac{x (x - 1)}{x (x - 1)}$ .

$\frac{x (x - 1)}{x (x - 1)} \cdot \frac{\frac{x - 1}{x} - \frac{- 4}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x} + \frac{x + 1}{x - 1}}$

Paso 1.2

Combinar.

$\frac{x (x - 1) (\frac{x - 1}{x} - \frac{- 4}{x - 1})}{x (x - 1) (\frac{x + 1}{x} + \frac{x + 1}{x - 1})}$

Paso 2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x - 1) \frac{x - 1}{x} + x (x - 1) (- \frac{- 4}{x - 1})}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Paso 3

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (x - 1) \frac{x - 1}{x} + x (x - 1) (- \frac{- 4}{x - 1})}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 1) (x - 1) + x (x - 1) (- \frac{- 4}{x - 1})}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Paso 3.2

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{1} (x - 1) + x (x - 1) (- \frac{- 4}{x - 1})}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Paso 3.3

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} + x (x - 1) (- \frac{- 4}{x - 1})}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(x - 1)}^{1 + 1} + x (x - 1) (- \frac{- 4}{x - 1})}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Paso 3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} + x (x - 1) (- \frac{- 4}{x - 1})}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 3.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{- 4}{x - 1}$ al numerador.

$\frac{{(x - 1)}^{2} + x (x - 1) \frac{4}{x - 1}}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Paso 3.6.2

Factoriza $x - 1$ de $x (x - 1)$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} + (x - 1) x \frac{4}{x - 1}}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Paso 3.6.3

Cancela el factor común.

$\frac{{(x - 1)}^{2} + (x - 1) x \frac{4}{x - 1}}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Paso 3.6.4

Reescribe la expresión.

$\frac{{(x - 1)}^{2} + x \cdot 4}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Paso 3.7

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(x - 1)}^{2} + x \cdot 4}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Paso 3.7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(x - 1)}^{2} + x \cdot 4}{(x - 1) (x + 1) + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Paso 3.8

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 3.8.1

Factoriza $x - 1$ de $x (x - 1)$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} + x \cdot 4}{(x - 1) (x + 1) + (x - 1) x \frac{x + 1}{x - 1}}$

Paso 3.8.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(x - 1)}^{2} + x \cdot 4}{(x - 1) (x + 1) + (x - 1) x \frac{x + 1}{x - 1}}$

Paso 3.8.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{(x - 1)}^{2} + x \cdot 4}{(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$\frac{u^{2} + 2 u + 1}{(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)}$

Paso 4.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{u^{2} + 2 u + 1^{2}}{(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)}$

Paso 4.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Paso 4.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}{(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)}$

Paso 4.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 1$ .

$\frac{{(u + 1)}^{2}}{(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)}$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Factoriza $x + 1$ de $(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $x + 1$ de $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) + x (x + 1)}$

Paso 5.1.2

Factoriza $x + 1$ de $x (x + 1)$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) + (x + 1) x}$

Paso 5.1.3

Factoriza $x + 1$ de $(x + 1) (x - 1) + (x + 1) x$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1 + x)}$

Paso 5.2

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (2 x - 1)}$

Paso 6

Cancela el factor común de ${(x + 1)}^{2}$ y $x + 1$ .

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Paso 6.1

Factoriza $x + 1$ de ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (2 x - 1)}$

Paso 6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (2 x - 1)}$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 1}{2 x - 1}$