Álgebra Ejemplos

$\frac{4 x^{2} - y^{2}}{8 x^{2} + 10 x y + 3 y^{2}} \cdot \frac{4 x^{2} - 9 x y - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{{(2 x)}^{2} - y^{2}}{8 x^{2} + 10 x y + 3 y^{2}} \cdot \frac{4 x^{2} - 9 x y - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 x$ y $b = y$ .

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{8 x^{2} + 10 x y + 3 y^{2}} \cdot \frac{4 x^{2} - 9 x y - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ y cuya suma es $b = 10$ .

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Paso 2.1.1

Reordena los términos.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{8 x^{2} + 3 y^{2} + 10 x y} \cdot \frac{4 x^{2} - 9 x y - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Paso 2.1.2

Reordena $3 y^{2}$ y $10 x y$ .

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{8 x^{2} + 10 x y + 3 y^{2}} \cdot \frac{4 x^{2} - 9 x y - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Paso 2.1.3

Factoriza $10$ de $10 x y$ .

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{8 x^{2} + 10 (x y) + 3 y^{2}} \cdot \frac{4 x^{2} - 9 x y - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Paso 2.1.4

Reescribe $10$ como $4$ más $6$

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{8 x^{2} + (4 + 6) (x y) + 3 y^{2}} \cdot \frac{4 x^{2} - 9 x y - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Paso 2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{8 x^{2} + 4 (x y) + 6 (x y) + 3 y^{2}} \cdot \frac{4 x^{2} - 9 x y - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Paso 2.1.6

Mueve los paréntesis.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{8 x^{2} + 4 x y + 6 x y + 3 y^{2}} \cdot \frac{4 x^{2} - 9 x y - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(8 x^{2} + 4 x y) + 6 x y + 3 y^{2}} \cdot \frac{4 x^{2} - 9 x y - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{4 x (2 x + y) + 3 y (2 x + y)} \cdot \frac{4 x^{2} - 9 x y - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + y$ .

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{4 x^{2} - 9 x y - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot - 9 = - 36$ y cuya suma es $b = - 9$ .

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Paso 3.1.1

Reordena los términos.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{4 x^{2} - 9 y^{2} - 9 x y}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Paso 3.1.2

Reordena $- 9 y^{2}$ y $- 9 x y$ .

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{4 x^{2} - 9 x y - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Paso 3.1.3

Factoriza $- 9$ de $- 9 x y$ .

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{4 x^{2} - 9 (x y) - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Paso 3.1.4

Reescribe $- 9$ como $3$ más $- 12$

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{4 x^{2} + (3 - 12) (x y) - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Paso 3.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{4 x^{2} + 3 (x y) - 12 (x y) - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Paso 3.1.6

Mueve los paréntesis.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{4 x^{2} + 3 x y - 12 x y - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{(4 x^{2} + 3 x y) - 12 x y - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{x (4 x + 3 y) - 3 y (4 x + 3 y)}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 x + 3 y$ .

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{(4 x + 3 y) (x - 3 y)}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Paso 4

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 4.1.1

Reordena los términos.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{(4 x + 3 y) (x - 3 y)}{2 x^{2} - 3 y^{2} - 5 x y}$

Paso 4.1.2

Reordena $- 3 y^{2}$ y $- 5 x y$ .

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{(4 x + 3 y) (x - 3 y)}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Paso 4.1.3

Factoriza $- 5$ de $- 5 x y$ .

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{(4 x + 3 y) (x - 3 y)}{2 x^{2} - 5 (x y) - 3 y^{2}}$

Paso 4.1.4

Reescribe $- 5$ como $1$ más $- 6$

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{(4 x + 3 y) (x - 3 y)}{2 x^{2} + (1 - 6) (x y) - 3 y^{2}}$

Paso 4.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{(4 x + 3 y) (x - 3 y)}{2 x^{2} + 1 (x y) - 6 (x y) - 3 y^{2}}$

Paso 4.1.6

Multiplica $x y$ por $1$ .

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{(4 x + 3 y) (x - 3 y)}{2 x^{2} + x y - 6 (x y) - 3 y^{2}}$

Paso 4.1.7

Mueve los paréntesis.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{(4 x + 3 y) (x - 3 y)}{2 x^{2} + x y - 6 x y - 3 y^{2}}$

Paso 4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{(4 x + 3 y) (x - 3 y)}{(2 x^{2} + x y) - 6 x y - 3 y^{2}}$

Paso 4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{(4 x + 3 y) (x - 3 y)}{x (2 x + y) - 3 y (2 x + y)}$

Paso 4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + y$ .

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{(4 x + 3 y) (x - 3 y)}{(2 x + y) (x - 3 y)}$

Paso 5

Cancela el factor común de $2 x + y$ .

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Paso 5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{(4 x + 3 y) (x - 3 y)}{(2 x + y) (x - 3 y)}$

Paso 5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x - y}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{(4 x + 3 y) (x - 3 y)}{x - 3 y}$

Paso 6

Cancela el factor común de $4 x + 3 y$ .

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Paso 6.1

Factoriza $4 x + 3 y$ de $(2 x + y) (4 x + 3 y)$ .

$\frac{2 x - y}{(4 x + 3 y) (2 x + y)} \cdot \frac{(4 x + 3 y) (x - 3 y)}{x - 3 y}$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 x - y}{(4 x + 3 y) (2 x + y)} \cdot \frac{(4 x + 3 y) (x - 3 y)}{x - 3 y}$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x - y}{2 x + y} \cdot \frac{x - 3 y}{x - 3 y}$

Paso 7

Multiplica $\frac{2 x - y}{2 x + y}$ por $\frac{x - 3 y}{x - 3 y}$ .

$\frac{(2 x - y) (x - 3 y)}{(2 x + y) (x - 3 y)}$

Paso 8

Cancela el factor común de $x - 3 y$ .

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Paso 8.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 x - y) (x - 3 y)}{(2 x + y) (x - 3 y)}$

Paso 8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x - y}{2 x + y}$