Álgebra Ejemplos

$\frac{2 a + 5}{a^{2} + 5 a + 4} + \frac{9}{(a + 4) (a^{2} + 4 a + 3)} - \frac{a b}{a^{2} b + 7 a b + 12 b}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $a^{2} + 5 a + 4$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $4$ y cuya suma es $5$ .

$1, 4$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a^{2} + 4 a + 3)} - \frac{a b}{a^{2} b + 7 a b + 12 b}$

Paso 1.2

Factoriza $a^{2} + 4 a + 3$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $3$ y cuya suma es $4$ .

$1, 3$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) ((a + 1) (a + 3))} - \frac{a b}{a^{2} b + 7 a b + 12 b}$

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a b}{a^{2} b + 7 a b + 12 b}$

Paso 1.3

Simplifica el denominador.

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Paso 1.3.1

Factoriza $b$ de $a^{2} b + 7 a b + 12 b$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $b$ de $a^{2} b$ .

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a b}{b a^{2} + 7 a b + 12 b}$

Paso 1.3.1.2

Factoriza $b$ de $7 a b$ .

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a b}{b a^{2} + b (7 a) + 12 b}$

Paso 1.3.1.3

Factoriza $b$ de $12 b$ .

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a b}{b a^{2} + b (7 a) + b \cdot 12}$

Paso 1.3.1.4

Factoriza $b$ de $b a^{2} + b (7 a)$ .

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a b}{b (a^{2} + 7 a) + b \cdot 12}$

Paso 1.3.1.5

Factoriza $b$ de $b (a^{2} + 7 a) + b \cdot 12$ .

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a b}{b (a^{2} + 7 a + 12)}$

Paso 1.3.2

Factoriza $a^{2} + 7 a + 12$ con el método AC.

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Paso 1.3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $12$ y cuya suma es $7$ .

$3, 4$

Paso 1.3.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a b}{b ((a + 3) (a + 4))}$

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a b}{b (a + 3) (a + 4)}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $b$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a b}{b (a + 3) (a + 4)}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a}{(a + 3) (a + 4)}$

Paso 2

Obtén el denominador común

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)}$ por $\frac{a + 3}{a + 3}$ .

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} \cdot \frac{a + 3}{a + 3} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a}{(a + 3) (a + 4)}$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)}$ por $\frac{a + 3}{a + 3}$ .

$\frac{(2 a + 5) (a + 3)}{(a + 1) (a + 4) (a + 3)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a}{(a + 3) (a + 4)}$

Paso 2.3

Multiplica $\frac{a}{(a + 3) (a + 4)}$ por $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{(2 a + 5) (a + 3)}{(a + 1) (a + 4) (a + 3)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - (\frac{a}{(a + 3) (a + 4)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1})$

Paso 2.4

Multiplica $\frac{a}{(a + 3) (a + 4)}$ por $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{(2 a + 5) (a + 3)}{(a + 1) (a + 4) (a + 3)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a (a + 1)}{(a + 3) (a + 4) (a + 1)}$

Paso 2.5

Reordena los factores de $(a + 4) (a + 1) (a + 3)$ .

$\frac{(2 a + 5) (a + 3)}{(a + 1) (a + 4) (a + 3)} + \frac{9}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)} - \frac{a (a + 1)}{(a + 3) (a + 4) (a + 1)}$

Paso 2.6

Reordena los factores de $(a + 3) (a + 4) (a + 1)$ .

$\frac{(2 a + 5) (a + 3)}{(a + 1) (a + 4) (a + 3)} + \frac{9}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)} - \frac{a (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(2 a + 5) (a + 3) + 9 - a (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Expande $(2 a + 5) (a + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 a (a + 3) + 5 (a + 3) + 9 - a (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Paso 3.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 a \cdot a + 2 a \cdot 3 + 5 (a + 3) + 9 - a (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Paso 3.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 a \cdot a + 2 a \cdot 3 + 5 a + 5 \cdot 3 + 9 - a (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Paso 3.2.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Mueve $a$ .

$\frac{2 (a \cdot a) + 2 a \cdot 3 + 5 a + 5 \cdot 3 + 9 - a (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Paso 3.2.2.1.1.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{2 a^{2} + 2 a \cdot 3 + 5 a + 5 \cdot 3 + 9 - a (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{2 a^{2} + 6 a + 5 a + 5 \cdot 3 + 9 - a (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Paso 3.2.2.1.3

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{2 a^{2} + 6 a + 5 a + 15 + 9 - a (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Paso 3.2.2.2

Suma $6 a$ y $5 a$ .

$\frac{2 a^{2} + 11 a + 15 + 9 - a (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Paso 3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 a^{2} + 11 a + 15 + 9 - a \cdot a - a \cdot 1}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Paso 3.2.4

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.4.1

Mueve $a$ .

$\frac{2 a^{2} + 11 a + 15 + 9 - (a \cdot a) - a \cdot 1}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{2 a^{2} + 11 a + 15 + 9 - a^{2} - a \cdot 1}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Paso 3.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 a^{2} + 11 a + 15 + 9 - a^{2} - a}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Paso 3.3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.3.1

Resta $a^{2}$ de $2 a^{2}$ .

$\frac{a^{2} + 11 a + 15 + 9 - a}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Paso 3.3.2

Resta $a$ de $11 a$ .

$\frac{a^{2} + 10 a + 15 + 9}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Paso 3.3.3

Suma $15$ y $9$ .

$\frac{a^{2} + 10 a + 24}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Paso 4

Factoriza $a^{2} + 10 a + 24$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $24$ y cuya suma es $10$ .

$4, 6$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(a + 4) (a + 6)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Paso 5

Cancela el factor común de $a + 4$ .

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Paso 5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(a + 4) (a + 6)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Paso 5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{a + 6}{(a + 1) (a + 3)}$