Álgebra Ejemplos

$2 \ln (x) - \ln (2 x - 7) = \ln (5 x) - \ln (x - 2)$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (x) - \ln (2 x - 7) = \ln (\frac{5 x}{x - 2})$

Paso 2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$2 \ln (x) - \ln (2 x - 7) - \ln (\frac{5 x}{x - 2}) = 0$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica $2 \ln (x) - \ln (2 x - 7) - \ln (\frac{5 x}{x - 2})$ .

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Paso 3.1.1

Simplifica $2 \ln (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (x^{2}) - \ln (2 x - 7) - \ln (\frac{5 x}{x - 2}) = 0$

Paso 3.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{2 x - 7}) - \ln (\frac{5 x}{x - 2}) = 0$

Paso 3.1.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{2}}{2 x - 7}}{\frac{5 x}{x - 2}}) = 0$

Paso 3.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\ln (\frac{x^{2}}{2 x - 7} \cdot \frac{x - 2}{5 x}) = 0$

Paso 3.1.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.1.5.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\ln (\frac{x \cdot x}{2 x - 7} \cdot \frac{x - 2}{5 x}) = 0$

Paso 3.1.5.2

Factoriza $x$ de $5 x$ .

$\ln (\frac{x \cdot x}{2 x - 7} \cdot \frac{x - 2}{x \cdot 5}) = 0$

Paso 3.1.5.3

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{x \cdot x}{2 x - 7} \cdot \frac{x - 2}{x \cdot 5}) = 0$

Paso 3.1.5.4

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{x}{2 x - 7} \cdot \frac{x - 2}{5}) = 0$

Paso 3.1.6

Multiplica $\frac{x}{2 x - 7}$ por $\frac{x - 2}{5}$ .

$\ln (\frac{x (x - 2)}{(2 x - 7) \cdot 5}) = 0$

Paso 3.1.7

Mueve $5$ a la izquierda de $2 x - 7$ .

$\ln (\frac{x (x - 2)}{5 (2 x - 7)}) = 0$

Paso 4

Reescribe $\ln (\frac{x (x - 2)}{5 (2 x - 7)}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{x (x - 2)}{5 (2 x - 7)}$

Paso 5

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$x (x - 2) = e^{0} (5 (2 x - 7))$

Paso 6

Simplifica $e^{0} (5 (2 x - 7))$ .

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Paso 6.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x (x - 2) = 1 (5 (2 x - 7))$

Paso 6.1.2

Multiplica $5 (2 x - 7)$ por $1$ .

$x (x - 2) = 5 (2 x - 7)$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x - 2) = 5 (2 x) + 5 \cdot - 7$

Paso 6.3

Multiplica.

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Paso 6.3.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$x (x - 2) = 10 x + 5 \cdot - 7$

Paso 6.3.2

Multiplica $5$ por $- 7$ .

$x (x - 2) = 10 x - 35$

Paso 7

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.1

Resta $10 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x (x - 2) - 10 x = - 35$

Paso 7.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 10 x = - 35$

Paso 7.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 - 10 x = - 35$

Paso 7.2.3

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 2 x - 10 x = - 35$

Paso 7.3

Resta $10 x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} - 12 x = - 35$

Paso 8

Factoriza $x$ de $x^{2} - 12 x$ .

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Paso 8.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 12 x = - 35$

Paso 8.2

Factoriza $x$ de $- 12 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 12 = - 35$

Paso 8.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 12$ .

$x (x - 12) = - 35$

Paso 9

Simplifica $x (x - 12)$ .

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 12 = - 35$

Paso 9.2

Simplifica la expresión.

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Paso 9.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 12 = - 35$

Paso 9.2.2

Mueve $- 12$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 12 x = - 35$

Paso 10

Suma $35$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 12 x + 35 = 0$

Paso 11

Factoriza $x^{2} - 12 x + 35$ con el método AC.

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Paso 11.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $35$ y cuya suma es $- 12$ .

$- 7, - 5$

Paso 11.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 7) (x - 5) = 0$

Paso 12

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 5 = 0$

Paso 13

Establece $x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $x - 7$ igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Paso 13.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 14

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 14.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 14.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 15

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 7) (x - 5) = 0$ verdadera.

$x = 7, 5$