Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{3}{x + 2} - \sqrt{x - 3}$

Paso 1

Obtén el dominio para $y = \frac{3}{x + 2} - \sqrt{x - 3}$ de modo que se pueda elegir una lista de valores de $x$ para obtener una lista de puntos, lo que ayudará a graficar el radical.

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Paso 1.1

Establece el radicando en $\sqrt{x - 3}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x - 3 \geq 0$

Paso 1.2

Suma $3$ a ambos lados de la desigualdad.

$x \geq 3$

Paso 1.3

Establece el denominador en $\frac{3 - \sqrt{x - 3} x - 2 \sqrt{x - 3}}{x + 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x + 2 = 0$

Paso 1.4

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 1.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[3, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq 3}$

Notación de intervalo:

$[3, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq 3}$

Paso 2

Para obtener el extremo de la expresión con radicales, sustituye el valor $x$ $3$ , que es el menor valor en el dominio, en $f (x) = \frac{3 - \sqrt{x - 3} x - 2 \sqrt{x - 3}}{x + 2}$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = \frac{3 - \sqrt{(3) - 3} \cdot 3 - 2 \sqrt{(3) - 3}}{(3) + 2}$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.1

Resta $3$ de $3$ .

$f (3) = \frac{3 - \sqrt{0} \cdot 3 - 2 \sqrt{3 - 3}}{3 + 2}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$f (3) = \frac{3 - \sqrt{0^{2}} \cdot 3 - 2 \sqrt{3 - 3}}{3 + 2}$

Paso 2.2.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (3) = \frac{3 + 0 \cdot 3 - 2 \sqrt{3 - 3}}{3 + 2}$

Paso 2.2.1.4

Multiplica $- 0 \cdot 3$ .

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Paso 2.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (3) = \frac{3 + 0 \cdot 3 - 2 \sqrt{3 - 3}}{3 + 2}$

Paso 2.2.1.4.2

Multiplica $0$ por $3$ .

$f (3) = \frac{3 + 0 - 2 \sqrt{3 - 3}}{3 + 2}$

Paso 2.2.1.5

Resta $3$ de $3$ .

$f (3) = \frac{3 + 0 - 2 \sqrt{0}}{3 + 2}$

Paso 2.2.1.6

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$f (3) = \frac{3 + 0 - 2 \sqrt{0^{2}}}{3 + 2}$

Paso 2.2.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (3) = \frac{3 + 0 - 2 \cdot 0}{3 + 2}$

Paso 2.2.1.8

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$f (3) = \frac{3 + 0 + 0}{3 + 2}$

Paso 2.2.1.9

Suma $3 + 0$ y $0$ .

$f (3) = \frac{3 + 0}{3 + 2}$

Paso 2.2.1.10

Suma $3$ y $0$ .

$f (3) = \frac{3}{3 + 2}$

Paso 2.2.2

Suma $3$ y $2$ .

$f (3) = \frac{3}{5}$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $\frac{3}{5}$ .

$\frac{3}{5}$

Paso 3

El extremo de la expresión radical es $(3, \frac{3}{5})$ .

$(3, \frac{3}{5})$

Paso 4

Selecciona algunos valores de $x$ del dominio. Sería más útil seleccionar los valores para que estén próximos al valor $x$ del extremo de la expresión radical.

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Paso 4.1

Sustituye el valor $x$ $4$ en $f (x) = \frac{3 - \sqrt{x - 3} x - 2 \sqrt{x - 3}}{x + 2}$ . En este caso, el punto es $(4, - \frac{1}{2})$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = \frac{3 - \sqrt{(4) - 3} \cdot 4 - 2 \sqrt{(4) - 3}}{(4) + 2}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.1.1

Resta $3$ de $4$ .

$f (4) = \frac{3 - \sqrt{1} \cdot 4 - 2 \sqrt{4 - 3}}{4 + 2}$

Paso 4.1.2.1.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (4) = \frac{3 - 1 \cdot 1 \cdot 4 - 2 \sqrt{4 - 3}}{4 + 2}$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $- 1 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Paso 4.1.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (4) = \frac{3 - 1 \cdot 4 - 2 \sqrt{4 - 3}}{4 + 2}$

Paso 4.1.2.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (4) = \frac{3 - 4 - 2 \sqrt{4 - 3}}{4 + 2}$

Paso 4.1.2.1.4

Resta $3$ de $4$ .

$f (4) = \frac{3 - 4 - 2 \sqrt{1}}{4 + 2}$

Paso 4.1.2.1.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (4) = \frac{3 - 4 - 2 \cdot 1}{4 + 2}$

Paso 4.1.2.1.6

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f (4) = \frac{3 - 4 - 2}{4 + 2}$

Paso 4.1.2.1.7

Resta $4$ de $3$ .

$f (4) = \frac{- 1 - 2}{4 + 2}$

Paso 4.1.2.1.8

Resta $2$ de $- 1$ .

$f (4) = \frac{- 3}{4 + 2}$

Paso 4.1.2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.1.2.2.1

Suma $4$ y $2$ .

$f (4) = \frac{- 3}{6}$

Paso 4.1.2.2.2

Cancela el factor común de $- 3$ y $6$ .

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Paso 4.1.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$f (4) = \frac{3 (- 1)}{6}$

Paso 4.1.2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$f (4) = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Paso 4.1.2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (4) = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Paso 4.1.2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (4) = \frac{- 1}{2}$

Paso 4.1.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (4) = - \frac{1}{2}$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Paso 4.2

Sustituye el valor $x$ $5$ en $f (x) = \frac{3 - \sqrt{x - 3} x - 2 \sqrt{x - 3}}{x + 2}$ . En este caso, el punto es $(5, \frac{3 - 7 \sqrt{2}}{7})$ .

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Paso 4.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f (5) = \frac{3 - \sqrt{(5) - 3} \cdot 5 - 2 \sqrt{(5) - 3}}{(5) + 2}$

Paso 4.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.2.1.1

Resta $3$ de $5$ .

$f (5) = \frac{3 - \sqrt{2} \cdot 5 - 2 \sqrt{5 - 3}}{5 + 2}$

Paso 4.2.2.1.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$f (5) = \frac{3 - 5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5 - 3}}{5 + 2}$

Paso 4.2.2.1.3

Resta $3$ de $5$ .

$f (5) = \frac{3 - 5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{5 + 2}$

Paso 4.2.2.1.4

Resta $2 \sqrt{2}$ de $- 5 \sqrt{2}$ .

$f (5) = \frac{3 - 7 \sqrt{2}}{5 + 2}$

Paso 4.2.2.2

Suma $5$ y $2$ .

$f (5) = \frac{3 - 7 \sqrt{2}}{7}$

Paso 4.2.2.3

La respuesta final es $\frac{3 - 7 \sqrt{2}}{7}$ .

$y = \frac{3 - 7 \sqrt{2}}{7}$

Paso 4.3

La raíz cuadrada puede representarse de manera gráfica mediante los puntos alrededor del vértice $(3, \frac{3}{5}), (4, - 0.5), (5, - 0.99)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & \frac{3}{5} \\ 4 & - 0.5 \\ 5 & - 0.99 \end{array}$

Paso 5