Álgebra Ejemplos

$y = x^{2} - 6 x + 8$ , $2 y + x = 4$

Paso 1

Reemplaza todos los casos de $y$ por $x^{2} - 6 x + 8$ en cada ecuación.

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Paso 1.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $2 y + x = 4$ por $x^{2} - 6 x + 8$ .

$2 (x^{2} - 6 x + 8) + x = 4$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Simplifica $2 (x^{2} - 6 x + 8) + x$ .

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Paso 1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 8 + x = 4$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Paso 1.2.1.1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1.1.2.1

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$2 x^{2} - 12 x + 2 \cdot 8 + x = 4$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Paso 1.2.1.1.2.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$2 x^{2} - 12 x + 16 + x = 4$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

$2 x^{2} - 12 x + 16 + x = 4$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

$2 x^{2} - 12 x + 16 + x = 4$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Paso 1.2.1.2

Suma $- 12 x$ y $x$ .

$2 x^{2} - 11 x + 16 = 4$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

$2 x^{2} - 11 x + 16 = 4$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

$2 x^{2} - 11 x + 16 = 4$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

$2 x^{2} - 11 x + 16 = 4$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Paso 2

Resuelve $x$ en $2 x^{2} - 11 x + 16 = 4$ .

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Paso 2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - 11 x + 16 - 4 = 0$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Paso 2.2

Resta $4$ de $16$ .

$2 x^{2} - 11 x + 12 = 0$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Paso 2.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 12 = 24$ y cuya suma es $b = - 11$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $- 11$ de $- 11 x$ .

$2 x^{2} - 11 x + 12 = 0$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Paso 2.3.1.2

Reescribe $- 11$ como $- 3$ más $- 8$

$2 x^{2} + (- 3 - 8) x + 12 = 0$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 3 x - 8 x + 12 = 0$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

$2 x^{2} - 3 x - 8 x + 12 = 0$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Paso 2.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 x^{2} - 3 x) - 8 x + 12 = 0$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Paso 2.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (2 x - 3) - 4 (2 x - 3) = 0$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

$x (2 x - 3) - 4 (2 x - 3) = 0$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Paso 2.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) (x - 4) = 0$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

$(2 x - 3) (x - 4) = 0$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Paso 2.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x - 4 = 0$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Paso 2.5

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Paso 2.5.2

Resuelve $2 x - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 3$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Paso 2.5.2.2

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Paso 2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Paso 2.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

$x = \frac{3}{2}$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

$x = \frac{3}{2}$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

$x = \frac{3}{2}$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

$x = \frac{3}{2}$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

$x = \frac{3}{2}$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Paso 2.6

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Paso 2.6.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

$x = 4$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x - 3) (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = \frac{3}{2}, 4$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

$x = \frac{3}{2}, 4$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Paso 3

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{3}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 3.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = x^{2} - 6 x + 8$ por $\frac{3}{2}$ .

$y = {(\frac{3}{2})}^{2} - 6 (\frac{3}{2}) + 8$

$x = \frac{3}{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${(\frac{3}{2})}^{2} - 6 (\frac{3}{2}) + 8$ .

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Paso 3.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3^{2}}{2^{2}} - 6 (\frac{3}{2}) + 8$

$x = \frac{3}{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{9}{2^{2}} - 6 (\frac{3}{2}) + 8$

$x = \frac{3}{2}$

Paso 3.2.1.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{9}{4} - 6 (\frac{3}{2}) + 8$

$x = \frac{3}{2}$

Paso 3.2.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.4.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$y = \frac{9}{4} + 2 (- 3) (\frac{3}{2}) + 8$

$x = \frac{3}{2}$

Paso 3.2.1.1.4.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{9}{4} + 2 \cdot (- 3 (\frac{3}{2})) + 8$

$x = \frac{3}{2}$

Paso 3.2.1.1.4.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{9}{4} - 3 \cdot 3 + 8$

$x = \frac{3}{2}$

$y = \frac{9}{4} - 3 \cdot 3 + 8$

$x = \frac{3}{2}$

Paso 3.2.1.1.5

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$y = \frac{9}{4} - 9 + 8$

$x = \frac{3}{2}$

$y = \frac{9}{4} - 9 + 8$

$x = \frac{3}{2}$

Paso 3.2.1.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.2.1.2.1

Escribe $- 9$ como una fracción con el denominador $1$ .

$y = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{1} + 8$

$x = \frac{3}{2}$

Paso 3.2.1.2.2

Multiplica $\frac{- 9}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{4}{4} + 8$

$x = \frac{3}{2}$

Paso 3.2.1.2.3

Multiplica $\frac{- 9}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{9}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + 8$

$x = \frac{3}{2}$

Paso 3.2.1.2.4

Escribe $8$ como una fracción con el denominador $1$ .

$y = \frac{9}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{8}{1}$

$x = \frac{3}{2}$

Paso 3.2.1.2.5

Multiplica $\frac{8}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{9}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{8}{1} \cdot \frac{4}{4}$

$x = \frac{3}{2}$

Paso 3.2.1.2.6

Multiplica $\frac{8}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{9}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = \frac{9}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}$

$x = \frac{3}{2}$

Paso 3.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{9 - 9 \cdot 4 + 8 \cdot 4}{4}$

$x = \frac{3}{2}$

Paso 3.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.4.1

Multiplica $- 9$ por $4$ .

$y = \frac{9 - 36 + 8 \cdot 4}{4}$

$x = \frac{3}{2}$

Paso 3.2.1.4.2

Multiplica $8$ por $4$ .

$y = \frac{9 - 36 + 32}{4}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = \frac{9 - 36 + 32}{4}$

$x = \frac{3}{2}$

Paso 3.2.1.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.2.1.5.1

Resta $36$ de $9$ .

$y = \frac{- 27 + 32}{4}$

$x = \frac{3}{2}$

Paso 3.2.1.5.2

Suma $- 27$ y $32$ .

$y = \frac{5}{4}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = \frac{5}{4}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = \frac{5}{4}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = \frac{5}{4}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = \frac{5}{4}$

$x = \frac{3}{2}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $x$ por $4$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = x^{2} - 6 x + 8$ por $4$ .

$y = {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 8$

$x = 4$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica ${(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 8$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$y = 16 - 6 \cdot 4 + 8$

$x = 4$

Paso 4.2.1.1.2

Multiplica $- 6$ por $4$ .

$y = 16 - 24 + 8$

$x = 4$

$y = 16 - 24 + 8$

$x = 4$

Paso 4.2.1.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1.2.1

Resta $24$ de $16$ .

$y = - 8 + 8$

$x = 4$

Paso 4.2.1.2.2

Suma $- 8$ y $8$ .

$y = 0$

$x = 4$

$y = 0$

$x = 4$

$y = 0$

$x = 4$

$y = 0$

$x = 4$

$y = 0$

$x = 4$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{3}{2}, \frac{5}{4})$

$(4, 0)$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(\frac{3}{2}, \frac{5}{4}), (4, 0)$

Forma de la ecuación:

$x = \frac{3}{2}, y = \frac{5}{4}$

$x = 4, y = 0$

Paso 7