Álgebra Ejemplos

$2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2} - 125 x - 500$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$- 125 x - 500 + 2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2}$

Paso 2

Factoriza $- 125$ de $- 125 x - 500$ .

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Paso 2.1

Factoriza $- 125$ de $- 125 x$ .

$- 125 (x) - 500 + 2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2}$

Paso 2.2

Factoriza $- 125$ de $- 500$ .

$- 125 (x) - 125 (4) + 2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2}$

Paso 2.3

Factoriza $- 125$ de $- 125 (x) - 125 (4)$ .

$- 125 (x + 4) + 2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2}$

Paso 3

Factoriza $x^{2}$ de $2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2}$ .

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Paso 3.1

Factoriza $x^{2}$ de $2 x^{4}$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2}) + 23 x^{3} + 60 x^{2}$

Paso 3.2

Factoriza $x^{2}$ de $23 x^{3}$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (23 x) + 60 x^{2}$

Paso 3.3

Factoriza $x^{2}$ de $60 x^{2}$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (23 x) + x^{2} \cdot 60$

Paso 3.4

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (23 x)$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2} + 23 x) + x^{2} \cdot 60$

Paso 3.5

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (2 x^{2} + 23 x) + x^{2} \cdot 60$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2} + 23 x + 60)$

Paso 4

Factoriza.

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Paso 4.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 60 = 120$ y cuya suma es $b = 23$ .

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Paso 4.1.1.1

Factoriza $23$ de $23 x$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2} + 23 (x) + 60)$

Paso 4.1.1.2

Reescribe $23$ como $8$ más $15$

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2} + (8 + 15) x + 60)$

Paso 4.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2} + 8 x + 15 x + 60)$

Paso 4.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- 125 (x + 4) + x^{2} ((2 x^{2} + 8 x) + 15 x + 60)$

Paso 4.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x (x + 4) + 15 (x + 4))$

Paso 4.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 4$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} ((x + 4) (2 x + 15))$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 125 (x + 4) + x^{2} (x + 4) (2 x + 15)$

Paso 5

Factoriza $x + 4$ de $- 125 (x + 4) + x^{2} (x + 4) (2 x + 15)$ .

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Paso 5.1

Factoriza $x + 4$ de $- 125 (x + 4)$ .

$(x + 4) \cdot - 125 + x^{2} (x + 4) (2 x + 15)$

Paso 5.2

Factoriza $x + 4$ de $x^{2} (x + 4) (2 x + 15)$ .

$(x + 4) \cdot - 125 + (x + 4) (x^{2} (2 x + 15))$

Paso 5.3

Factoriza $x + 4$ de $(x + 4) \cdot - 125 + (x + 4) (x^{2} (2 x + 15))$ .

$(x + 4) (- 125 + x^{2} (2 x + 15))$

Paso 6

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 4) (- 125 + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 15)$

Paso 7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(x + 4) (- 125 + 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 15)$

Paso 8

Mueve $15$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$(x + 4) (- 125 + 2 x^{2} x + 15 \cdot x^{2})$

Paso 9

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 9.1

Mueve $x$ .

$(x + 4) (- 125 + 2 (x \cdot x^{2}) + 15 \cdot x^{2})$

Paso 9.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 9.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(x + 4) (- 125 + 2 (x^{1} x^{2}) + 15 \cdot x^{2})$

Paso 9.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x + 4) (- 125 + 2 x^{1 + 2} + 15 \cdot x^{2})$

Paso 9.3

Suma $1$ y $2$ .

$(x + 4) (- 125 + 2 x^{3} + 15 \cdot x^{2})$

$(x + 4) (- 125 + 2 x^{3} + 15 x^{2})$

Paso 10

Reordena los términos.

$(x + 4) (2 x^{3} + 15 x^{2} - 125)$

Paso 11

Factoriza.

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Paso 11.1

Reescribe $2 x^{3} + 15 x^{2} - 125$ en forma factorizada.

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Paso 11.1.1

Factoriza $2 x^{3} + 15 x^{2} - 125$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 11.1.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 11.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 125, \pm 62.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 25, \pm 12.5$

Paso 11.1.1.3

Sustituye $- 5$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 5$ es una raíz del polinomio.

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Paso 11.1.1.3.1

Sustituye $- 5$ en el polinomio.

$2 {(- 5)}^{3} + 15 {(- 5)}^{2} - 125$

Paso 11.1.1.3.2

Eleva $- 5$ a la potencia de $3$ .

$2 \cdot - 125 + 15 {(- 5)}^{2} - 125$

Paso 11.1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 125$ .

$- 250 + 15 {(- 5)}^{2} - 125$

Paso 11.1.1.3.4

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$- 250 + 15 \cdot 25 - 125$

Paso 11.1.1.3.5

Multiplica $15$ por $25$ .

$- 250 + 375 - 125$

Paso 11.1.1.3.6

Suma $- 250$ y $375$ .

$125 - 125$

Paso 11.1.1.3.7

Resta $125$ de $125$ .

$0$

Paso 11.1.1.4

Como $- 5$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 5$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 x^{3} + 15 x^{2} - 125}{x + 5}$

Paso 11.1.1.5

Divide $2 x^{3} + 15 x^{2} - 125$ por $x + 5$ .

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Paso 11.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$15 x^{2}$

$0 x$

$125$

Paso 11.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$

Paso 11.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			+	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Paso 11.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{3} + 10 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Paso 11.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

Paso 11.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Paso 11.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $5 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Paso 11.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$

Paso 11.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $5 x^{2} + 25 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$

Paso 11.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$

Paso 11.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$	-	$125$

Paso 11.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 25 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$25$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$	-	$125$

Paso 11.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$25$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$	-	$125$
							-	$25 x$	-	$125$

Paso 11.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 25 x - 125$ .

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$25$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$	-	$125$
							+	$25 x$	+	$125$

Paso 11.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$25$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$	-	$125$
							+	$25 x$	+	$125$
										$0$

Paso 11.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$2 x^{2} + 5 x - 25$

Paso 11.1.1.6

Escribe $2 x^{3} + 15 x^{2} - 125$ como un conjunto de factores.

$(x + 4) ((x + 5) (2 x^{2} + 5 x - 25))$

Paso 11.1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 11.1.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 11.1.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 25 = - 50$ y cuya suma es $b = 5$ .

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Paso 11.1.2.1.1.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$(x + 4) ((x + 5) (2 x^{2} + 5 (x) - 25))$

Paso 11.1.2.1.1.2

Reescribe $5$ como $- 5$ más $10$

$(x + 4) ((x + 5) (2 x^{2} + (- 5 + 10) x - 25))$

Paso 11.1.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 4) ((x + 5) (2 x^{2} - 5 x + 10 x - 25))$

Paso 11.1.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 11.1.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + 4) ((x + 5) ((2 x^{2} - 5 x) + 10 x - 25))$

Paso 11.1.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + 4) ((x + 5) (x (2 x - 5) + 5 (2 x - 5)))$

Paso 11.1.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 5$ .

$(x + 4) ((x + 5) ((2 x - 5) (x + 5)))$

Paso 11.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 4) ((x + 5) (2 x - 5) (x + 5))$

Paso 11.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 4) (x + 5) (2 x - 5) (x + 5)$

Paso 12

Combina exponentes.

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Paso 12.1

Eleva $x + 5$ a la potencia de $1$ .

$(x + 4) ({(x + 5)}^{1} (x + 5)) (2 x - 5)$

Paso 12.2

Eleva $x + 5$ a la potencia de $1$ .

$(x + 4) ({(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1}) (2 x - 5)$

Paso 12.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x + 4) {(x + 5)}^{1 + 1} (2 x - 5)$

Paso 12.4

Suma $1$ y $1$ .

$(x + 4) {(x + 5)}^{2} (2 x - 5)$