Álgebra Ejemplos

$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9 = 0$

Paso 1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 {(x^{2})}^{2} - 37 x^{2} + 9 = 0$

Paso 2

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$4 u^{2} - 37 u + 9 = 0$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 9 = 36$ y cuya suma es $b = - 37$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $- 37$ de $- 37 u$ .

$4 u^{2} - 37 u + 9 = 0$

Paso 3.1.2

Reescribe $- 37$ como $- 1$ más $- 36$

$4 u^{2} + (- 1 - 36) u + 9 = 0$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 u^{2} - 1 u - 36 u + 9 = 0$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(4 u^{2} - 1 u) - 36 u + 9 = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (4 u - 1) - 9 (4 u - 1) = 0$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 9) = 0$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$(4 x^{2} - 1) (x^{2} - 9) = 0$

Paso 5

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$({(2 x)}^{2} - 1) (x^{2} - 9) = 0$

Paso 6

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} - 9) = 0$

Paso 7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 x$ y $b = 1$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 9) = 0$

Paso 8

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Paso 9

Factoriza.

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Paso 9.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Paso 9.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x + 3) (x - 3) = 0$

Paso 10

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 11

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Paso 11.2

Resuelve $2 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 11.2.2

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 11.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 11.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 11.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 11.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 12

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Paso 12.2

Resuelve $2 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 12.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 12.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 12.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 12.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 12.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 13

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 13.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 14

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 14.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 14.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 15

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x + 1) (2 x - 1) (x + 3) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, - 3, 3$