Álgebra Ejemplos

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} = 1$

Paso 1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} - 1 = 0$

Paso 2

Reescribe ${(x - 2)}^{\frac{3}{4}}$ como ${({(x - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{3}$ .

${({(x - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{3} - 1 = 0$

Paso 3

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

${({(x - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{3} - 1^{3} = 0$

Paso 4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ y $b = 1$ .

$({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1) ({({(x - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{2} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

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Paso 5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1) ({(x - 2)}^{\frac{1}{4} \cdot 2} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 5.1.2.2

Cancela el factor común.

$({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 5.1.2.3

Reescribe la expresión.

$({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 5.2

Multiplica ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ por $1$ .

$({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + 1^{2}) = 0$

Paso 5.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + 1) = 0$

Paso 6

Simplifica $({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + 1)$ .

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Paso 6.1

Expande $({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

${(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 1 - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 6.2

Simplifica los términos.

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Paso 6.2.1

Combina los términos opuestos en ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 1 - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 \cdot 1$ .

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Paso 6.2.1.1

Reordena los factores en los términos ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 1$ y $- 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ .

${(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 6.2.1.2

Resta $1 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ de $1 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ .

${(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + 0 - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 6.2.1.3

Suma ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ y $0$ .

${(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 6.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1

Multiplica ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ por ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.2.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(x - 2)}^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 6.2.2.1.2

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

${(x - 2)}^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 6.2.2.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.2.2.1.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

${(x - 2)}^{\frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 6.2.2.1.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

${(x - 2)}^{\frac{1}{4} + \frac{2}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 6.2.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x - 2)}^{\frac{1 + 2}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 6.2.2.1.5

Suma $1$ y $2$ .

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 6.2.2.2

Multiplica ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ por ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.2.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 6.2.2.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1 + 1}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 6.2.2.2.3

Suma $1$ y $1$ .

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{2}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 6.2.2.2.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 6.2.2.2.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{2 (1)}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 6.2.2.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 6.2.2.2.4.2.2

Cancela el factor común.

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 6.2.2.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 6.2.2.3

Reescribe $- 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ como $- {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 6.2.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

Paso 6.2.3

Combina los términos opuestos en ${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1$ .

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Paso 6.2.3.1

Resta ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ de ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + 0 - 1 = 0$

Paso 6.2.3.2

Suma ${(x - 2)}^{\frac{3}{4}}$ y $0$ .

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} - 1 = 0$

Paso 7

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} = 1$

Paso 8

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{4}{3}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(x - 2)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 1^{\frac{4}{3}}$

Paso 9

Simplifica el exponente.

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Paso 9.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.1.1

Simplifica ${({(x - 2)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Paso 9.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 2)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Paso 9.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 2)}^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 1^{\frac{4}{3}}$

Paso 9.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x - 2)}^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 1^{\frac{4}{3}}$

Paso 9.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x - 2)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 1^{\frac{4}{3}}$

Paso 9.1.1.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 9.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

${(x - 2)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 1^{\frac{4}{3}}$

Paso 9.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

${(x - 2)}^{1} = 1^{\frac{4}{3}}$

Paso 9.1.1.2

Simplifica.

$x - 2 = 1^{\frac{4}{3}}$

Paso 9.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x - 2 = 1$

Paso 10

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1 + 2$

Paso 10.2

Suma $1$ y $2$ .

$x = 3$