Álgebra Ejemplos

$x^{10} - 31 x^{5} - 32 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $x^{10}$ como ${(x^{5})}^{2}$ .

${(x^{5})}^{2} - 31 x^{5} - 32 = 0$

Paso 1.2

Sea $u = x^{5}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{5}$ .

$u^{2} - 31 u - 32 = 0$

Paso 1.3

Factoriza $u^{2} - 31 u - 32$ con el método AC.

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Paso 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 32$ y cuya suma es $- 31$ .

$- 32, 1$

Paso 1.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 32) (u + 1) = 0$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{5}$ .

$(x^{5} - 32) (x^{5} + 1) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{5} - 32 = 0$

$x^{5} + 1 = 0$

Paso 3

Establece $x^{5} - 32$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $x^{5} - 32$ igual a $0$ .

$x^{5} - 32 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x^{5} - 32 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $32$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{5} = 32$

Paso 3.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[5]{32}$

Paso 3.2.3

Simplifica $\sqrt[5]{32}$ .

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Paso 3.2.3.1

Reescribe $32$ como $2^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{2^{5}}$

Paso 3.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 2$

Paso 4

Establece $x^{5} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x^{5} + 1$ igual a $0$ .

$x^{5} + 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x^{5} + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{5} = - 1$

Paso 4.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[5]{- 1}$

Paso 4.2.3

Simplifica $\sqrt[5]{- 1}$ .

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Paso 4.2.3.1

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{{(- 1)}^{5}}$

Paso 4.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = - 1$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{5} - 32) (x^{5} + 1) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 1$

Paso 6