Álgebra Ejemplos

$\frac{14}{y + 7} + \frac{2}{y} = \frac{9 y - 7}{y^{2} - 49}$

Paso 1

Resta $\frac{9 y - 7}{y^{2} - 49}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{14}{y + 7} + \frac{2}{y} - \frac{9 y - 7}{y^{2} - 49} = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{14}{y + 7} + \frac{2}{y} - \frac{9 y - 7}{y^{2} - 49}$ .

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Paso 2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{14}{y + 7} + \frac{2}{y} - \frac{9 y - 7}{y^{2} - 7^{2}} = 0$

Paso 2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 7$ .

$\frac{14}{y + 7} + \frac{2}{y} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{14}{y + 7}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{14}{y + 7} \cdot \frac{y}{y} + \frac{2}{y} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.3

Para escribir $\frac{2}{y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y + 7}{y + 7}$ .

$\frac{14}{y + 7} \cdot \frac{y}{y} + \frac{2}{y} \cdot \frac{y + 7}{y + 7} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(y + 7) y$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.4.1

Multiplica $\frac{14}{y + 7}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{14 y}{(y + 7) y} + \frac{2}{y} \cdot \frac{y + 7}{y + 7} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $\frac{2}{y}$ por $\frac{y + 7}{y + 7}$ .

$\frac{14 y}{(y + 7) y} + \frac{2 (y + 7)}{y (y + 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.4.3

Reordena los factores de $(y + 7) y$ .

$\frac{14 y}{y (y + 7)} + \frac{2 (y + 7)}{y (y + 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{14 y + 2 (y + 7)}{y (y + 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Factoriza $2$ de $14 y + 2 (y + 7)$ .

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Paso 2.6.1.1

Factoriza $2$ de $14 y$ .

$\frac{2 (7 y) + 2 (y + 7)}{y (y + 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.6.1.2

Factoriza $2$ de $2 (7 y) + 2 (y + 7)$ .

$\frac{2 (7 y + y + 7)}{y (y + 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.6.2

Suma $7 y$ y $y$ .

$\frac{2 (8 y + 7)}{y (y + 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.7

Para escribir $\frac{2 (8 y + 7)}{y (y + 7)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y - 7}{y - 7}$ .

$\frac{2 (8 y + 7)}{y (y + 7)} \cdot \frac{y - 7}{y - 7} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.8

Para escribir $- \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{2 (8 y + 7)}{y (y + 7)} \cdot \frac{y - 7}{y - 7} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} \cdot \frac{y}{y} = 0$

Paso 2.9

Escribe cada expresión con un denominador común de $y (y + 7) (y - 7)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.9.1

Multiplica $\frac{2 (8 y + 7)}{y (y + 7)}$ por $\frac{y - 7}{y - 7}$ .

$\frac{2 (8 y + 7) (y - 7)}{y (y + 7) (y - 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} \cdot \frac{y}{y} = 0$

Paso 2.9.2

Multiplica $\frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{2 (8 y + 7) (y - 7)}{y (y + 7) (y - 7)} - \frac{(9 y - 7) y}{(y + 7) (y - 7) y} = 0$

Paso 2.9.3

Reordena los factores de $(y + 7) (y - 7) y$ .

$\frac{2 (8 y + 7) (y - 7)}{y (y + 7) (y - 7)} - \frac{(9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (8 y + 7) (y - 7) - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11

Simplifica el numerador.

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Paso 2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 (8 y) + 2 \cdot 7) (y - 7) - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.2

Multiplica $8$ por $2$ .

$\frac{(16 y + 2 \cdot 7) (y - 7) - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.3

Multiplica $2$ por $7$ .

$\frac{(16 y + 14) (y - 7) - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.4

Expande $(16 y + 14) (y - 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.11.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{16 y (y - 7) + 14 (y - 7) - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{16 y \cdot y + 16 y \cdot - 7 + 14 (y - 7) - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{16 y \cdot y + 16 y \cdot - 7 + 14 y + 14 \cdot - 7 - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.11.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.5.1.1

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.11.5.1.1.1

Mueve $y$ .

$\frac{16 (y \cdot y) + 16 y \cdot - 7 + 14 y + 14 \cdot - 7 - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.5.1.1.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{16 y^{2} + 16 y \cdot - 7 + 14 y + 14 \cdot - 7 - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.5.1.2

Multiplica $- 7$ por $16$ .

$\frac{16 y^{2} - 112 y + 14 y + 14 \cdot - 7 - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.5.1.3

Multiplica $14$ por $- 7$ .

$\frac{16 y^{2} - 112 y + 14 y - 98 - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.5.2

Suma $- 112 y$ y $14 y$ .

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 + (- (9 y) - - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.7

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 + (- 9 y - - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.8

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 + (- 9 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.9

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 - 9 y \cdot y + 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.10

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.11.10.1

Mueve $y$ .

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 - 9 (y \cdot y) + 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.10.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 - 9 y^{2} + 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.11

Resta $9 y^{2}$ de $16 y^{2}$ .

$\frac{7 y^{2} - 98 y - 98 + 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.12

Suma $- 98 y$ y $7 y$ .

$\frac{7 y^{2} - 91 y - 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.13

Reescribe $7 y^{2} - 91 y - 98$ en forma factorizada.

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Paso 2.11.13.1

Factoriza $7$ de $7 y^{2} - 91 y - 98$ .

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Paso 2.11.13.1.1

Factoriza $7$ de $7 y^{2}$ .

$\frac{7 (y^{2}) - 91 y - 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.13.1.2

Factoriza $7$ de $- 91 y$ .

$\frac{7 (y^{2}) + 7 (- 13 y) - 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.13.1.3

Factoriza $7$ de $- 98$ .

$\frac{7 y^{2} + 7 (- 13 y) + 7 \cdot - 14}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.13.1.4

Factoriza $7$ de $7 y^{2} + 7 (- 13 y)$ .

$\frac{7 (y^{2} - 13 y) + 7 \cdot - 14}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.13.1.5

Factoriza $7$ de $7 (y^{2} - 13 y) + 7 \cdot - 14$ .

$\frac{7 (y^{2} - 13 y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.13.2

Factoriza $y^{2} - 13 y - 14$ con el método AC.

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Paso 2.11.13.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 14$ y cuya suma es $- 13$ .

$- 14, 1$

Paso 2.11.13.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{7 ((y - 14) (y + 1))}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

$\frac{7 (y - 14) (y + 1)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 3

Establece el numerador igual a cero.

$7 (y - 14) (y + 1) = 0$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Paso 4.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y - 14 = 0$

$y + 1 = 0$

Paso 4.2

Establece $y - 14$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 4.2.1

Establece $y - 14$ igual a $0$ .

$y - 14 = 0$

Paso 4.2.2

Suma $14$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 14$

Paso 4.3

Establece $y + 1$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 4.3.1

Establece $y + 1$ igual a $0$ .

$y + 1 = 0$

Paso 4.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 1$

Paso 4.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $7 (y - 14) (y + 1) = 0$ verdadera.

$y = 14, - 1$