Álgebra Ejemplos

$\frac{4}{x^{2} - 8 x + 12} = \frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 6}$

Paso 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $\frac{x}{x - 2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{4}{x^{2} - 8 x + 12} - \frac{x}{x - 2} = \frac{1}{x - 6}$

Paso 1.2

Resta $\frac{1}{x - 6}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{4}{x^{2} - 8 x + 12} - \frac{x}{x - 2} - \frac{1}{x - 6} = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{4}{x^{2} - 8 x + 12} - \frac{x}{x - 2} - \frac{1}{x - 6}$ .

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Paso 2.1

Factoriza $x^{2} - 8 x + 12$ con el método AC.

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Paso 2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $12$ y cuya suma es $- 8$ .

$- 6, - 2$

Paso 2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{4}{(x - 6) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2} - \frac{1}{x - 6} = 0$

Paso 2.2

Obtén el denominador común

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Paso 2.2.1

Multiplica $\frac{x}{x - 2}$ por $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{4}{(x - 6) (x - 2)} - (\frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x - 6}{x - 6}) - \frac{1}{x - 6} = 0$

Paso 2.2.2

Multiplica $\frac{x}{x - 2}$ por $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{4}{(x - 6) (x - 2)} - \frac{x (x - 6)}{(x - 2) (x - 6)} - \frac{1}{x - 6} = 0$

Paso 2.2.3

Multiplica $\frac{1}{x - 6}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4}{(x - 6) (x - 2)} - \frac{x (x - 6)}{(x - 2) (x - 6)} - (\frac{1}{x - 6} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}) = 0$

Paso 2.2.4

Multiplica $\frac{1}{x - 6}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4}{(x - 6) (x - 2)} - \frac{x (x - 6)}{(x - 2) (x - 6)} - \frac{x - 2}{(x - 6) (x - 2)} = 0$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 - x (x - 6) - (x - 2)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Paso 2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 - x \cdot x - x \cdot - 6 - (x - 2)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 - (x \cdot x) - x \cdot - 6 - (x - 2)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Paso 2.4.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{4 - x^{2} - x \cdot - 6 - (x - 2)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$\frac{4 - x^{2} + 6 x - (x - 2)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Paso 2.4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 - x^{2} + 6 x - x - - 2}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Paso 2.4.5

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{4 - x^{2} + 6 x - x + 2}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Paso 2.5

Suma $4$ y $2$ .

$\frac{- x^{2} + 6 x - x + 6}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Paso 2.6

Resta $x$ de $6 x$ .

$\frac{- x^{2} + 5 x + 6}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Paso 2.7

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.7.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 6 = - 6$ y cuya suma es $b = 5$ .

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Paso 2.7.1.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$\frac{- x^{2} + 5 (x) + 6}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Paso 2.7.1.2

Reescribe $5$ como $- 1$ más $6$

$\frac{- x^{2} + (- 1 + 6) x + 6}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Paso 2.7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} - 1 x + 6 x + 6}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Paso 2.7.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.7.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) + 6 x + 6}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Paso 2.7.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (- x - 1) - 6 (- x - 1)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Paso 2.7.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 6)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Paso 2.8

Cancela el factor común de $x - 6$ .

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Paso 2.8.1

Cancela el factor común.

$\frac{(- x - 1) (x - 6)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Paso 2.8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- x - 1}{x - 2} = 0$

Paso 2.9

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) - 1}{x - 2} = 0$

Paso 2.10

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (x) - 1 (1)}{x - 2} = 0$

Paso 2.11

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1)}{x - 2} = 0$

Paso 2.12

Reescribe $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1)}{x - 2} = 0$

Paso 2.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x + 1}{x - 2} = 0$

Paso 3

Establece el numerador igual a cero.

$x + 1 = 0$

Paso 4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$