Álgebra Ejemplos

$\sqrt{x} = x - 20$

Paso 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{x} - x = - 20$

Paso 1.2

Suma $20$ a ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{x} - x + 20 = 0$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} - x + 20 = 0$

Paso 3

Reescribe $x$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 20 = 0$

Paso 4

Sea $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$u - u^{2} + 20 = 0$

Paso 5

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1

Reordena los términos.

$- u^{2} + u + 20 = 0$

Paso 5.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 20 = - 20$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 5.2.1

Multiplica por $1$ .

$- u^{2} + 1 u + 20 = 0$

Paso 5.2.2

Reescribe $1$ como $- 4$ más $5$

$- u^{2} + (- 4 + 5) u + 20 = 0$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- u^{2} - 4 u + 5 u + 20 = 0$

Paso 5.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(- u^{2} - 4 u) + 5 u + 20 = 0$

Paso 5.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (- u - 4) - 5 (- u - 4) = 0$

Paso 5.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- u - 4$ .

$(- u - 4) (u - 5) = 0$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(- x^{\frac{1}{2}} - 4) (x^{\frac{1}{2}} - 5) = 0$

Paso 7

Factoriza $- 1$ de $- x^{\frac{1}{2}} - 4$ .

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Paso 7.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$(- (x^{\frac{1}{2}}) - 4) (x^{\frac{1}{2}} - 5) = 0$

Paso 7.2

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$(- (x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 4) (x^{\frac{1}{2}} - 5) = 0$

Paso 7.3

Factoriza $- 1$ de $- (x^{\frac{1}{2}}) - 1 (4)$ .

$- (x^{\frac{1}{2}} + 4) (x^{\frac{1}{2}} - 5) = 0$

Paso 8

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$

$x^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$

Paso 9

Establece $x^{\frac{1}{2}} + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.1

Establece $x^{\frac{1}{2}} + 4$ igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$

Paso 9.2

Resuelve $x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 9.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{1}{2}} = - 4$

Paso 9.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Paso 9.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 9.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 9.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 9.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4)}^{2}$

Paso 9.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4)}^{2}$

Paso 9.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(- 4)}^{2}$

Paso 9.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = {(- 4)}^{2}$

Paso 9.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.3.2.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = 16$

Paso 10

Establece $x^{\frac{1}{2}} - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $x^{\frac{1}{2}} - 5$ igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$

Paso 10.2

Resuelve $x^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 10.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{1}{2}} = 5$

Paso 10.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 5^{2}$

Paso 10.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 10.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 10.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 10.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{2}$

Paso 10.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{2}$

Paso 10.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 5^{2}$

Paso 10.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = 5^{2}$

Paso 10.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.3.2.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x = 25$

Paso 11

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (x^{\frac{1}{2}} + 4) (x^{\frac{1}{2}} - 5) = 0$ verdadera.

$x = 16, 25$

Paso 12

Excluye las soluciones que no hagan que $- (x^{\frac{1}{2}} + 4) (x^{\frac{1}{2}} - 5) = 0$ sea verdadera.

$x = 25$