Álgebra Ejemplos

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{8}}{\sqrt{7} + \sqrt{8}}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{4 (2)}}{\sqrt{7} + \sqrt{8}}$

Paso 1.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{7} + \sqrt{8}}$

Paso 1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{\sqrt{7} - (2 \sqrt{2})}{\sqrt{7} + \sqrt{8}}$

Paso 1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} + \sqrt{8}}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} + \sqrt{4 (2)}}$

Paso 2.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} + \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} + 2 \sqrt{2}}$

Paso 3

Multiplica $\frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} + 2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} + 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}$

Paso 4

Combina fracciones.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} + 2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2})}{(\sqrt{7} + 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2})}$

Paso 4.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2})}{{\sqrt{7}}^{2} - 2 \sqrt{14} + 2 \sqrt{14} - 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica.

$\frac{(\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2})}{- 1}$

Paso 4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{(\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2})}{- 1}$ .

$- 1 \cdot ((\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}))$

Paso 4.4.2

Reescribe $- 1 \cdot ((\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}))$ como $- ((\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}))$ .

$- ((\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}))$

Paso 5

Expande $(\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- (\sqrt{7} (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}))$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- (\sqrt{7} \sqrt{7} + \sqrt{7} (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}))$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (\sqrt{7} \sqrt{7} + \sqrt{7} (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{7} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}))$

Paso 6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$- (\sqrt{7 \cdot 7} + \sqrt{7} (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{7} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}))$

Paso 6.1.2

Multiplica $7$ por $7$ .

$- (\sqrt{49} + \sqrt{7} (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{7} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}))$

Paso 6.1.3

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$- (\sqrt{7^{2}} + \sqrt{7} (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{7} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}))$

Paso 6.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$- (7 + \sqrt{7} (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{7} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}))$

Paso 6.1.5

Multiplica $\sqrt{7} (- 2 \sqrt{2})$ .

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Paso 6.1.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$- (7 - 2 \sqrt{7 \cdot 2} - 2 \sqrt{2} \sqrt{7} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}))$

Paso 6.1.5.2

Multiplica $7$ por $2$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{2} \sqrt{7} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}))$

Paso 6.1.6

Multiplica $- 2 \sqrt{2} \sqrt{7}$ .

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Paso 6.1.6.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{7 \cdot 2} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}))$

Paso 6.1.6.2

Multiplica $7$ por $2$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}))$

Paso 6.1.7

Multiplica $- 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})$ .

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Paso 6.1.7.1

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 \sqrt{2} \sqrt{2})$

Paso 6.1.7.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}))$

Paso 6.1.7.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}))$

Paso 6.1.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1})$

Paso 6.1.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 {\sqrt{2}}^{2})$

Paso 6.1.8

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 6.1.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Paso 6.1.8.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

Paso 6.1.8.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})$

Paso 6.1.8.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.8.4.1

Cancela el factor común.

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})$

Paso 6.1.8.4.2

Reescribe la expresión.

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 \cdot 2^{1})$

Paso 6.1.8.5

Evalúa el exponente.

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 \cdot 2)$

Paso 6.1.9

Multiplica $4$ por $2$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 8)$

Paso 6.2

Suma $7$ y $8$ .

$- (15 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14})$

Paso 6.3

Resta $2 \sqrt{14}$ de $- 2 \sqrt{14}$ .

$- (15 - 4 \sqrt{14})$

Paso 7

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 \cdot 15 - (- 4 \sqrt{14})$

Paso 8

Multiplica.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $15$ .

$- 15 - (- 4 \sqrt{14})$

Paso 8.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$- 15 + 4 \sqrt{14}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- 15 + 4 \sqrt{14}$

Forma decimal:

$- 0.03337045 \dots$