Álgebra Ejemplos

$\frac{x}{x - y} - \frac{2 x}{x + y} - \frac{2 x y}{x^{2} - y^{2}}$

Paso 1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = y$ .

$\frac{x}{x - y} - \frac{2 x}{x + y} - \frac{2 x y}{(x + y) (x - y)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{x}{x - y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{x}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y} - \frac{2 x}{x + y} - \frac{2 x y}{(x + y) (x - y)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{2 x}{x + y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - y}{x - y}$ .

$\frac{x}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y} - \frac{2 x}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{2 x y}{(x + y) (x - y)}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - y) (x + y)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{x}{x - y}$ por $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{x (x + y)}{(x - y) (x + y)} - \frac{2 x}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{2 x y}{(x + y) (x - y)}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{2 x}{x + y}$ por $\frac{x - y}{x - y}$ .

$\frac{x (x + y)}{(x - y) (x + y)} - \frac{2 x (x - y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{2 x y}{(x + y) (x - y)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x - y) (x + y)$ .

$\frac{x (x + y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{2 x (x - y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{2 x y}{(x + y) (x - y)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (x + y) - 2 x (x - y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{2 x y}{(x + y) (x - y)}$

Paso 5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (x + y) - 2 x (x - y) - 2 x y}{(x + y) (x - y)}$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x y - 2 x (x - y) - 2 x y}{(x + y) (x - y)}$

Paso 6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x y - 2 x (x - y) - 2 x y}{(x + y) (x - y)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + x y - 2 x \cdot x - 2 x (- y) - 2 x y}{(x + y) (x - y)}$

Paso 6.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{2} + x y - 2 (x \cdot x) - 2 x (- y) - 2 x y}{(x + y) (x - y)}$

Paso 6.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x y - 2 x^{2} - 2 x (- y) - 2 x y}{(x + y) (x - y)}$

Paso 6.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x^{2} + x y - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1 x y - 2 x y}{(x + y) (x - y)}$

Paso 6.6

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + x y - 2 x^{2} + 2 x y - 2 x y}{(x + y) (x - y)}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Combina los términos opuestos en $x^{2} + x y - 2 x^{2} + 2 x y - 2 x y$ .

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Paso 7.1.1

Resta $2 x y$ de $2 x y$ .

$\frac{x^{2} + x y - 2 x^{2} + 0}{(x + y) (x - y)}$

Paso 7.1.2

Suma $x^{2} + x y - 2 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{x^{2} + x y - 2 x^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Paso 7.2

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + x y}{(x + y) (x - y)}$

Paso 7.3

Factoriza $x$ de $- x^{2} + x y$ .

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Paso 7.3.1

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) + x y}{(x + y) (x - y)}$

Paso 7.3.2

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{x (- x) + x (y)}{(x + y) (x - y)}$

Paso 7.3.3

Factoriza $x$ de $x (- x) + x (y)$ .

$\frac{x (- x + y)}{(x + y) (x - y)}$

Paso 7.4

Cancela el factor común de $- x + y$ y $x - y$ .

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Paso 7.4.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{x (- (x) + y)}{(x + y) (x - y)}$

Paso 7.4.2

Factoriza $- 1$ de $y$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (- y))}{(x + y) (x - y)}$

Paso 7.4.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- y)$ .

$\frac{x (- (x - y))}{(x + y) (x - y)}$

Paso 7.4.4

Reescribe $- (x - y)$ como $- 1 (x - y)$ .

$\frac{x (- 1 (x - y))}{(x + y) (x - y)}$

Paso 7.4.5

Cancela el factor común.

$\frac{x (- 1 (x - y))}{(x + y) (x - y)}$

Paso 7.4.6

Reescribe la expresión.

$\frac{x \cdot (- 1)}{x + y}$

Paso 7.5

Simplifica la expresión.

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Paso 7.5.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{x + y}$

Paso 7.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x}{x + y}$