Álgebra Ejemplos

$\sqrt{x + 2} \leq x - 10$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{x + 2}}^{2} \leq {(x - 10)}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 2}$ como ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(x - 10)}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(x - 10)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(x - 10)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x + 2)}^{1} \leq {(x - 10)}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$x + 2 \leq {(x - 10)}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(x - 10)}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe ${(x - 10)}^{2}$ como $(x - 10) (x - 10)$ .

$x + 2 \leq (x - 10) (x - 10)$

Paso 2.3.1.2

Expande $(x - 10) (x - 10)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 2 \leq x (x - 10) - 10 (x - 10)$

Paso 2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 2 \leq x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 (x - 10)$

Paso 2.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 2 \leq x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10$

Paso 2.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x + 2 \leq x^{2} + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10$

Paso 2.3.1.3.1.2

Mueve $- 10$ a la izquierda de $x$ .

$x + 2 \leq x^{2} - 10 \cdot x - 10 x - 10 \cdot - 10$

Paso 2.3.1.3.1.3

Multiplica $- 10$ por $- 10$ .

$x + 2 \leq x^{2} - 10 x - 10 x + 100$

Paso 2.3.1.3.2

Resta $10 x$ de $- 10 x$ .

$x + 2 \leq x^{2} - 20 x + 100$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe para que $x$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$x^{2} - 20 x + 100 \geq x + 2$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 3.2.1

Resta $x$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} - 20 x + 100 - x \geq 2$

Paso 3.2.2

Resta $x$ de $- 20 x$ .

$x^{2} - 21 x + 100 \geq 2$

Paso 3.3

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - 21 x + 100 = 2$

Paso 3.4

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 21 x + 100 - 2 = 0$

Paso 3.5

Resta $2$ de $100$ .

$x^{2} - 21 x + 98 = 0$

Paso 3.6

Factoriza $x^{2} - 21 x + 98$ con el método AC.

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Paso 3.6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $98$ y cuya suma es $- 21$ .

$- 14, - 7$

Paso 3.6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 14) (x - 7) = 0$

Paso 3.7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 14 = 0$

$x - 7 = 0$

Paso 3.8

Establece $x - 14$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.8.1

Establece $x - 14$ igual a $0$ .

$x - 14 = 0$

Paso 3.8.2

Suma $14$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 14$

Paso 3.9

Establece $x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.9.1

Establece $x - 7$ igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Paso 3.9.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 3.10

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 14) (x - 7) = 0$ verdadera.

$x = 14, 7$

Paso 4

Obtén el dominio de $\sqrt{x + 2} - x + 10$ .

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Paso 4.1

Establece el radicando en $\sqrt{x + 2}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x + 2 \geq 0$

Paso 4.2

Resta $2$ de ambos lados de la desigualdad.

$x \geq - 2$

Paso 4.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[- 2, \infty)$

Paso 5

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \geq 14$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x \geq 14$

Notación de intervalo:

$[14, \infty)$

Paso 7