Álgebra Ejemplos

$\log_{4} (m - 3) + \log_{4} (m + 3) = 2$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} ((m - 3) (m + 3)) = 2$

Paso 1.2

Expande $(m - 3) (m + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{4} (m (m + 3) - 3 (m + 3)) = 2$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{4} (m \cdot m + m \cdot 3 - 3 (m + 3)) = 2$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{4} (m \cdot m + m \cdot 3 - 3 m - 3 \cdot 3) = 2$

Paso 1.3

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.1

Combina los términos opuestos en $m \cdot m + m \cdot 3 - 3 m - 3 \cdot 3$ .

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Paso 1.3.1.1

Reordena los factores en los términos $m \cdot 3$ y $- 3 m$ .

$\log_{4} (m \cdot m + 3 m - 3 m - 3 \cdot 3) = 2$

Paso 1.3.1.2

Resta $3 m$ de $3 m$ .

$\log_{4} (m \cdot m + 0 - 3 \cdot 3) = 2$

Paso 1.3.1.3

Suma $m \cdot m$ y $0$ .

$\log_{4} (m \cdot m - 3 \cdot 3) = 2$

Paso 1.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.1

Multiplica $m$ por $m$ .

$\log_{4} (m^{2} - 3 \cdot 3) = 2$

Paso 1.3.2.2

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\log_{4} (m^{2} - 9) = 2$

Paso 2

Reescribe $\log_{4} (m^{2} - 9) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{2} = m^{2} - 9$

Paso 3

Resuelve $m$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $m^{2} - 9 = 4^{2}$ .

$m^{2} - 9 = 4^{2}$

Paso 3.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$m^{2} - 9 = 16$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que no contengan $m$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$m^{2} = 16 + 9$

Paso 3.3.2

Suma $16$ y $9$ .

$m^{2} = 25$

Paso 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$m = \pm \sqrt{25}$

Paso 3.5

Simplifica $\pm \sqrt{25}$ .

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Paso 3.5.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$m = \pm \sqrt{5^{2}}$

Paso 3.5.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$m = \pm 5$

Paso 3.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$m = 5$

Paso 3.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$m = - 5$

Paso 3.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$m = 5, - 5$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{4} (m - 3) + \log_{4} (m + 3) = 2$ sea verdadera.

$m = 5$