Álgebra Ejemplos

${(x - 3)}^{5}$

Paso 1

El triángulo de Pascal se puede visualizar de la siguiente manera:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

El triángulo puede usarse para calcular los coeficientes de la expansión de ${(a + b)}^{n}$ al tomar el exponente $n$ y sumar $1$ . Los coeficientes se corresponderán con la línea $n + 1$ del triángulo. Para ${(x - 3)}^{5}$ , $n = 5$ de modo que los coeficientes de la expansión se corresponderán con la línea $6$ .

Paso 2

La expansión sigue la regla ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Los valores de los coeficientes, desde el triángulo, son $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a$ , $x$ y $b$ en la expresión $- 3$ .

$1 {(x)}^{5} {(- 3)}^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- 3)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 3)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3)}^{5}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(x)}^{5}$ por $1$ .

${(x)}^{5} {(- 3)}^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- 3)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 3)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3)}^{5}$

Paso 4.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{5} \cdot 1 + 5 {(x)}^{4} {(- 3)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 3)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3)}^{5}$

Paso 4.3

Multiplica $x^{5}$ por $1$ .

$x^{5} + 5 {(x)}^{4} {(- 3)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 3)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3)}^{5}$

Paso 4.4

Evalúa el exponente.

$x^{5} + 5 x^{4} \cdot - 3 + 10 {(x)}^{3} {(- 3)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3)}^{5}$

Paso 4.5

Multiplica $- 3$ por $5$ .

$x^{5} - 15 x^{4} + 10 {(x)}^{3} {(- 3)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3)}^{5}$

Paso 4.6

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$x^{5} - 15 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 9 + 10 {(x)}^{2} {(- 3)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3)}^{5}$

Paso 4.7

Multiplica $9$ por $10$ .

$x^{5} - 15 x^{4} + 90 x^{3} + 10 {(x)}^{2} {(- 3)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3)}^{5}$

Paso 4.8

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$x^{5} - 15 x^{4} + 90 x^{3} + 10 x^{2} \cdot - 27 + 5 {(x)}^{1} {(- 3)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3)}^{5}$

Paso 4.9

Multiplica $- 27$ por $10$ .

$x^{5} - 15 x^{4} + 90 x^{3} - 270 x^{2} + 5 {(x)}^{1} {(- 3)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3)}^{5}$

Paso 4.10

Simplifica.

$x^{5} - 15 x^{4} + 90 x^{3} - 270 x^{2} + 5 x {(- 3)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3)}^{5}$

Paso 4.11

Eleva $- 3$ a la potencia de $4$ .

$x^{5} - 15 x^{4} + 90 x^{3} - 270 x^{2} + 5 x \cdot 81 + 1 {(x)}^{0} {(- 3)}^{5}$

Paso 4.12

Multiplica $81$ por $5$ .

$x^{5} - 15 x^{4} + 90 x^{3} - 270 x^{2} + 405 x + 1 {(x)}^{0} {(- 3)}^{5}$

Paso 4.13

Multiplica ${(x)}^{0}$ por $1$ .

$x^{5} - 15 x^{4} + 90 x^{3} - 270 x^{2} + 405 x + {(x)}^{0} {(- 3)}^{5}$

Paso 4.14

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{5} - 15 x^{4} + 90 x^{3} - 270 x^{2} + 405 x + 1 {(- 3)}^{5}$

Paso 4.15

Multiplica ${(- 3)}^{5}$ por $1$ .

$x^{5} - 15 x^{4} + 90 x^{3} - 270 x^{2} + 405 x + {(- 3)}^{5}$

Paso 4.16

Eleva $- 3$ a la potencia de $5$ .

$x^{5} - 15 x^{4} + 90 x^{3} - 270 x^{2} + 405 x - 243$