Álgebra Ejemplos

$2 \ln (e^{\ln (2 x)}) - \ln (e^{\ln (10 x)}) = \ln (30)$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $\ln (2 x)$ fuera del exponente.

$2 (\ln (2 x) \ln (e)) - \ln (e^{\ln (10 x)}) = \ln (30)$

Paso 1.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$2 (\ln (2 x) \cdot 1) - \ln (e^{\ln (10 x)}) = \ln (30)$

Paso 1.3

Multiplica $\ln (2 x)$ por $1$ .

$2 \ln (2 x) - \ln (e^{\ln (10 x)}) = \ln (30)$

Paso 1.4

Usa las reglas de logaritmos para mover $\ln (10 x)$ fuera del exponente.

$2 \ln (2 x) - (\ln (10 x) \ln (e)) = \ln (30)$

Paso 1.5

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$2 \ln (2 x) - (\ln (10 x) \cdot 1) = \ln (30)$

Paso 1.6

Multiplica $\ln (10 x)$ por $1$ .

$2 \ln (2 x) - \ln (10 x) = \ln (30)$

Paso 2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$2 \ln (2 x) - \ln (10 x) - \ln (30) = 0$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica $2 \ln (2 x) - \ln (10 x) - \ln (30)$ .

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Paso 3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.1

Simplifica $2 \ln (2 x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln ({(2 x)}^{2}) - \ln (10 x) - \ln (30) = 0$

Paso 3.1.1.2

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$\ln (2^{2} x^{2}) - \ln (10 x) - \ln (30) = 0$

Paso 3.1.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\ln (4 x^{2}) - \ln (10 x) - \ln (30) = 0$

Paso 3.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{4 x^{2}}{10 x}) - \ln (30) = 0$

Paso 3.1.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{4 x^{2}}{10 x}}{30}) = 0$

Paso 3.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $10$ .

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Paso 3.1.4.1

Factoriza $2$ de $4 x^{2}$ .

$\ln (\frac{\frac{2 (2 x^{2})}{10 x}}{30}) = 0$

Paso 3.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $10 x$ .

$\ln (\frac{\frac{2 (2 x^{2})}{2 (5 x)}}{30}) = 0$

Paso 3.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{\frac{2 (2 x^{2})}{2 (5 x)}}{30}) = 0$

Paso 3.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{\frac{2 x^{2}}{5 x}}{30}) = 0$

Paso 3.1.5

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 3.1.5.1

Factoriza $x$ de $2 x^{2}$ .

$\ln (\frac{\frac{x (2 x)}{5 x}}{30}) = 0$

Paso 3.1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.5.2.1

Factoriza $x$ de $5 x$ .

$\ln (\frac{\frac{x (2 x)}{x \cdot 5}}{30}) = 0$

Paso 3.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{\frac{x (2 x)}{x \cdot 5}}{30}) = 0$

Paso 3.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{\frac{2 x}{5}}{30}) = 0$

Paso 3.1.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\ln (\frac{2 x}{5} \cdot \frac{1}{30}) = 0$

Paso 3.1.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.7.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\ln (\frac{2 (x)}{5} \cdot \frac{1}{30}) = 0$

Paso 3.1.7.2

Factoriza $2$ de $30$ .

$\ln (\frac{2 (x)}{5} \cdot \frac{1}{2 (15)}) = 0$

Paso 3.1.7.3

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{2 x}{5} \cdot \frac{1}{2 \cdot 15}) = 0$

Paso 3.1.7.4

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{x}{5} \cdot \frac{1}{15}) = 0$

Paso 3.1.8

Multiplica $\frac{x}{5}$ por $\frac{1}{15}$ .

$\ln (\frac{x}{5 \cdot 15}) = 0$

Paso 3.1.9

Multiplica $5$ por $15$ .

$\ln (\frac{x}{75}) = 0$

Paso 4

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{x}{75})} = e^{0}$

Paso 5

Reescribe $\ln (\frac{x}{75}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{x}{75}$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{x}{75} = e^{0}$ .

$\frac{x}{75} = e^{0}$

Paso 6.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $75$ .

$75 \frac{x}{75} = 75 e^{0}$

Paso 6.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1.1

Cancela el factor común de $75$ .

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Paso 6.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$75 \frac{x}{75} = 75 e^{0}$

Paso 6.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 75 e^{0}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica $75 e^{0}$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x = 75 \cdot 1$

Paso 6.3.2.1.2

Multiplica $75$ por $1$ .

$x = 75$