Álgebra Ejemplos

$x^{\frac{4}{3}} = 81$

Paso 1

Resta $81$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{4}{3}} - 81 = 0$

Paso 2

Reescribe $x^{\frac{4}{3}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{2} - 81 = 0$

Paso 3

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{2} - 9^{2} = 0$

Paso 4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{\frac{2}{3}}$ y $b = 9$ .

$(x^{\frac{2}{3}} + 9) (x^{\frac{2}{3}} - 9) = 0$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe $x^{\frac{2}{3}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$(x^{\frac{2}{3}} + 9) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 9) = 0$

Paso 5.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$(x^{\frac{2}{3}} + 9) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 3^{2}) = 0$

Paso 5.3

Factoriza.

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Paso 5.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{\frac{1}{3}}$ y $b = 3$ .

$(x^{\frac{2}{3}} + 9) ((x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3)) = 0$

Paso 5.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{\frac{2}{3}} + 9) (x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) = 0$

Paso 6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} + 9 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} - 3 = 0$

Paso 7

Establece $x^{\frac{2}{3}} + 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x^{\frac{2}{3}} + 9$ igual a $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} + 9 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $x^{\frac{2}{3}} + 9 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{2}{3}} = - 9$

Paso 7.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{3}{2}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 9)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.3.1

Simplifica ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 7.2.3.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 7.2.3.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 9)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.2.3.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 9)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.2.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 9)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.2.3.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.3.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 9)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.2.3.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = \pm {(- 9)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.2.3.1.2

Simplifica.

$x = \pm {(- 9)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = {(- 9)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - {(- 9)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = {(- 9)}^{\frac{3}{2}}, - {(- 9)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 8

Establece $x^{\frac{1}{3}} + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $x^{\frac{1}{3}} + 3$ igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

Paso 8.2

Resuelve $x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 8.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{1}{3}} = - 3$

Paso 8.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

Paso 8.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 8.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 8.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 8.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Paso 8.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Paso 8.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(- 3)}^{3}$

Paso 8.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = {(- 3)}^{3}$

Paso 8.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.3.2.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$x = - 27$

Paso 9

Establece $x^{\frac{1}{3}} - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.1

Establece $x^{\frac{1}{3}} - 3$ igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 3 = 0$

Paso 9.2

Resuelve $x^{\frac{1}{3}} - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 9.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{1}{3}} = 3$

Paso 9.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 3^{3}$

Paso 9.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 9.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 9.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 9.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Paso 9.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Paso 9.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 3^{3}$

Paso 9.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = 3^{3}$

Paso 9.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.3.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$x = 27$

Paso 10

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{\frac{2}{3}} + 9) (x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) = 0$ verdadera.

$x = {(- 9)}^{\frac{3}{2}}, - {(- 9)}^{\frac{3}{2}}, - 27, 27$

Paso 11

Excluye las soluciones que no hagan que $(x^{\frac{2}{3}} + 9) (x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) = 0$ sea verdadera.

$x = - 27, 27$