Álgebra Ejemplos

$\frac{x + 2}{x^{2} - 9} + \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x - 3} = \frac{2 x - 3}{x^{2} + 4 x + 3}$

Paso 1

Resta $\frac{2 x - 3}{x^{2} + 4 x + 3}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x + 2}{x^{2} - 9} + \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x - 3} - \frac{2 x - 3}{x^{2} + 4 x + 3} = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{x + 2}{x^{2} - 9} + \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x - 3} - \frac{2 x - 3}{x^{2} + 4 x + 3}$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{x + 2}{x^{2} - 3^{2}} + \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x - 3} - \frac{2 x - 3}{x^{2} + 4 x + 3} = 0$

Paso 2.1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{x + 2}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x - 3} - \frac{2 x - 3}{x^{2} + 4 x + 3} = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $x^{2} - 2 x - 3$ con el método AC.

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Paso 2.1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Paso 2.1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x + 2}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{x - 3}{(x - 3) (x + 1)} - \frac{2 x - 3}{x^{2} + 4 x + 3} = 0$

Paso 2.1.3

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 2.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x + 2}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{x - 3}{(x - 3) (x + 1)} - \frac{2 x - 3}{x^{2} + 4 x + 3} = 0$

Paso 2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 2}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{1}{x + 1} - \frac{2 x - 3}{x^{2} + 4 x + 3} = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza $x^{2} + 4 x + 3$ con el método AC.

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Paso 2.1.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $3$ y cuya suma es $4$ .

$1, 3$

Paso 2.1.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x + 2}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{1}{x + 1} - \frac{2 x - 3}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.2

Obtén el denominador común

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Paso 2.2.1

Multiplica $\frac{x + 2}{(x + 3) (x - 3)}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 2}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} - \frac{2 x - 3}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.2.2

Multiplica $\frac{x + 2}{(x + 3) (x - 3)}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{(x + 3) (x - 3) (x + 1)} + \frac{1}{x + 1} - \frac{2 x - 3}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.2.3

Multiplica $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{(x + 3) (x - 3) (x + 1)} + \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{2 x - 3}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.2.4

Multiplica $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{(x + 3) (x - 3) (x + 1)} + \frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 1) ((x + 3) (x - 3))} - \frac{2 x - 3}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.2.5

Multiplica $\frac{2 x - 3}{(x + 1) (x + 3)}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{(x + 3) (x - 3) (x + 1)} + \frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 1) ((x + 3) (x - 3))} - (\frac{2 x - 3}{(x + 1) (x + 3)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}) = 0$

Paso 2.2.6

Multiplica $\frac{2 x - 3}{(x + 1) (x + 3)}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{(x + 3) (x - 3) (x + 1)} + \frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 1) ((x + 3) (x - 3))} - \frac{(2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.2.7

Reordena los factores de $(x + 1) ((x + 3) (x - 3))$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{(x + 3) (x - 3) (x + 1)} + \frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} - \frac{(2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x + 2) (x + 1) + (x + 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.1

Expande $(x + 2) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x + 1) + 2 (x + 1) + (x + 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 2 (x + 1) + (x + 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1 + (x + 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1 + (x + 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 2 x + 2 \cdot 1 + (x + 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.2.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 2 x + 2 + (x + 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.2.2

Suma $x$ y $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + (x + 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.3

Expande $(x + 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.4.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x (x - 3) + 3 (x - 3) - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.4

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Paso 2.4.4.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot - 3$ y $3 x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.4.2

Suma $- 3 x$ y $3 x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.4.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x \cdot x + 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.5

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.5.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} + 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.5.2

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 + (- (2 x) - - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 + (- 2 x - - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.8

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 + (- 2 x + 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.9

Expande $(- 2 x + 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.4.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 - 2 x (x - 3) + 3 (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 3 + 3 (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.10

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.4.10.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.10.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.10.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.10.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.10.1.2

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 - 2 x^{2} + 6 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.10.1.3

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 - 2 x^{2} + 6 x + 3 x - 9}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.10.2

Suma $6 x$ y $3 x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 - 2 x^{2} + 9 x - 9}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.5

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 x + 2 - 9 - 2 x^{2} + 9 x - 9}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.6

Combina los términos opuestos en $2 x^{2} + 3 x + 2 - 9 - 2 x^{2} + 9 x - 9$ .

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Paso 2.6.1

Resta $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{3 x + 2 - 9 + 0 + 9 x - 9}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.6.2

Suma $3 x + 2 - 9$ y $0$ .

$\frac{3 x + 2 - 9 + 9 x - 9}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.7

Suma $3 x$ y $9 x$ .

$\frac{12 x + 2 - 9 - 9}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.8

Resta $9$ de $2$ .

$\frac{12 x - 7 - 9}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.9

Resta $9$ de $- 7$ .

$\frac{12 x - 16}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.10

Factoriza $4$ de $12 x - 16$ .

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Paso 2.10.1

Factoriza $4$ de $12 x$ .

$\frac{4 (3 x) - 16}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.10.2

Factoriza $4$ de $- 16$ .

$\frac{4 (3 x) + 4 (- 4)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2.10.3

Factoriza $4$ de $4 (3 x) + 4 (- 4)$ .

$\frac{4 (3 x - 4)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 3

Establece el numerador igual a cero.

$4 (3 x - 4) = 0$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.1

Divide cada término en $4 (3 x - 4) = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 4.1.1

Divide cada término en $4 (3 x - 4) = 0$ por $4$ .

$\frac{4 (3 x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 4.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (3 x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 4.1.2.1.2

Divide $3 x - 4$ por $1$ .

$3 x - 4 = \frac{0}{4}$

Paso 4.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$3 x - 4 = 0$

Paso 4.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 4$

Paso 4.3

Divide cada término en $3 x = 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.3.1

Divide cada término en $3 x = 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 4.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{3}$