Álgebra Ejemplos

$\frac{28}{x^{2} - 9} + \frac{2 x}{x - 3} + \frac{6}{x + 3} = 0$

Paso 1

Para escribir $\frac{28}{x^{2} - 9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{28}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{2 x}{x - 3} + \frac{6}{x + 3} = 0$

Paso 2

Para escribir $\frac{2 x}{x - 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 9}$ .

$\frac{28}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{2 x}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 9} + \frac{6}{x + 3} = 0$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x^{2} - 9) (x - 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{28}{x^{2} - 9}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{28 (x - 3)}{(x^{2} - 9) (x - 3)} + \frac{2 x}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 9} + \frac{6}{x + 3} = 0$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{2 x}{x - 3}$ por $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 9}$ .

$\frac{28 (x - 3)}{(x^{2} - 9) (x - 3)} + \frac{2 x (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)} + \frac{6}{x + 3} = 0$

Paso 3.3

Reordena los factores de $(x^{2} - 9) (x - 3)$ .

$\frac{28 (x - 3)}{(x - 3) (x^{2} - 9)} + \frac{2 x (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)} + \frac{6}{x + 3} = 0$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{28 (x - 3) + 2 x (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)} + \frac{6}{x + 3} = 0$

Paso 5

Para escribir $\frac{28 (x - 3) + 2 x (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{28 (x - 3) + 2 x (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{6}{x + 3} = 0$

Paso 6

Para escribir $\frac{6}{x + 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$ .

$\frac{28 (x - 3) + 2 x (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{6}{x + 3} \cdot \frac{(x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 7

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{28 (x - 3) + 2 x (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(28 (x - 3) + 2 x (x^{2} - 9)) (x + 3)}{(x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3)} + \frac{6}{x + 3} \cdot \frac{(x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 7.2

Multiplica $\frac{6}{x + 3}$ por $\frac{(x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$ .

$\frac{(28 (x - 3) + 2 x (x^{2} - 9)) (x + 3)}{(x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3)} + \frac{6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) ((x - 3) (x^{2} - 9))} = 0$

Paso 7.3

Reordena los factores de $(x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3)$ .

$\frac{(28 (x - 3) + 2 x (x^{2} - 9)) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} + \frac{6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) ((x - 3) (x^{2} - 9))} = 0$

Paso 7.4

Reordena los factores de $(x + 3) ((x - 3) (x^{2} - 9))$ .

$\frac{(28 (x - 3) + 2 x (x^{2} - 9)) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} + \frac{6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(28 (x - 3) + 2 x (x^{2} - 9)) (x + 3) + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9

Reescribe $\frac{(28 (x - 3) + 2 x (x^{2} - 9)) (x + 3) + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)}$ en forma factorizada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(28 x + 28 \cdot - 3 + 2 x (x^{2} - 9)) (x + 3) + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.1.2

Multiplica $28$ por $- 3$ .

$\frac{(28 x - 84 + 2 x (x^{2} - 9)) (x + 3) + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(28 x - 84 + 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot - 9) (x + 3) + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.1.4

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 9.1.4.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{(28 x - 84 + 2 (x^{2} x) + 2 x \cdot - 9) (x + 3) + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.1.4.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 9.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(28 x - 84 + 2 (x^{2} x) + 2 x \cdot - 9) (x + 3) + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(28 x - 84 + 2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot - 9) (x + 3) + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.1.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{(28 x - 84 + 2 x^{3} + 2 x \cdot - 9) (x + 3) + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.1.5

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$\frac{(28 x - 84 + 2 x^{3} - 18 x) (x + 3) + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.2

Resta $18 x$ de $28 x$ .

$\frac{(10 x - 84 + 2 x^{3}) (x + 3) + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.3

Expande $(10 x - 84 + 2 x^{3}) (x + 3)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{10 x \cdot x + 10 x \cdot 3 - 84 x - 84 \cdot 3 + 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 3 + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.4

Simplifica cada término.

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Paso 9.4.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 9.4.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{10 (x \cdot x) + 10 x \cdot 3 - 84 x - 84 \cdot 3 + 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 3 + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.4.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{10 x^{2} + 10 x \cdot 3 - 84 x - 84 \cdot 3 + 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 3 + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.4.2

Multiplica $3$ por $10$ .

$\frac{10 x^{2} + 30 x - 84 x - 84 \cdot 3 + 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 3 + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.4.3

Multiplica $- 84$ por $3$ .

$\frac{10 x^{2} + 30 x - 84 x - 252 + 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 3 + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.4.4

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 9.4.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{10 x^{2} + 30 x - 84 x - 252 + 2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 3 + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.4.4.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 9.4.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{10 x^{2} + 30 x - 84 x - 252 + 2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 3 + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.4.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{10 x^{2} + 30 x - 84 x - 252 + 2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} \cdot 3 + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.4.4.3

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{10 x^{2} + 30 x - 84 x - 252 + 2 x^{4} + 2 x^{3} \cdot 3 + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.4.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{10 x^{2} + 30 x - 84 x - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.5

Resta $84 x$ de $30 x$ .

$\frac{10 x^{2} - 54 x - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.6

Expande $(x - 3) (x^{2} - 9)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 9.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{10 x^{2} - 54 x - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 (x (x^{2} - 9) - 3 (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{10 x^{2} - 54 x - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 (x \cdot x^{2} + x \cdot - 9 - 3 (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{10 x^{2} - 54 x - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 (x \cdot x^{2} + x \cdot - 9 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 9)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.7

Simplifica cada término.

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Paso 9.7.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 9.7.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 9.7.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{10 x^{2} - 54 x - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 (x \cdot x^{2} + x \cdot - 9 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 9)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.7.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{10 x^{2} - 54 x - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 (x^{1 + 2} + x \cdot - 9 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 9)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.7.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{10 x^{2} - 54 x - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 (x^{3} + x \cdot - 9 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 9)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.7.2

Mueve $- 9$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{10 x^{2} - 54 x - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 (x^{3} - 9 x - 3 x^{2} - 3 \cdot - 9)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.7.3

Multiplica $- 3$ por $- 9$ .

$\frac{10 x^{2} - 54 x - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 (x^{3} - 9 x - 3 x^{2} + 27)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{10 x^{2} - 54 x - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{3} + 6 (- 9 x) + 6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot 27}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.9

Simplifica.

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Paso 9.9.1

Multiplica $- 9$ por $6$ .

$\frac{10 x^{2} - 54 x - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{3} - 54 x + 6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot 27}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.9.2

Multiplica $- 3$ por $6$ .

$\frac{10 x^{2} - 54 x - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{3} - 54 x - 18 x^{2} + 6 \cdot 27}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.9.3

Multiplica $6$ por $27$ .

$\frac{10 x^{2} - 54 x - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{3} - 54 x - 18 x^{2} + 162}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.10

Resta $18 x^{2}$ de $10 x^{2}$ .

$\frac{- 8 x^{2} - 54 x - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{3} - 54 x + 162}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.11

Resta $54 x$ de $- 54 x$ .

$\frac{- 8 x^{2} - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{3} - 108 x + 162}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.12

Suma $- 252$ y $162$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{3} - 108 x - 90}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.13

Suma $6 x^{3}$ y $6 x^{3}$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 12 x^{3} - 108 x - 90}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.14

Reordena los términos.

$\frac{2 x^{4} + 12 x^{3} - 8 x^{2} - 108 x - 90}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.15

Factoriza $2$ de $2 x^{4} + 12 x^{3} - 8 x^{2} - 108 x - 90$ .

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Paso 9.15.1

Factoriza $2$ de $2 x^{4}$ .

$\frac{2 (x^{4}) + 12 x^{3} - 8 x^{2} - 108 x - 90}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.15.2

Factoriza $2$ de $12 x^{3}$ .

$\frac{2 (x^{4}) + 2 (6 x^{3}) - 8 x^{2} - 108 x - 90}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.15.3

Factoriza $2$ de $- 8 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{4}) + 2 (6 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) - 108 x - 90}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.15.4

Factoriza $2$ de $- 108 x$ .

$\frac{2 (x^{4}) + 2 (6 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 54 x) - 90}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.15.5

Factoriza $2$ de $- 90$ .

$\frac{2 x^{4} + 2 (6 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 54 x) + 2 \cdot - 45}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.15.6

Factoriza $2$ de $2 x^{4} + 2 (6 x^{3})$ .

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 54 x) + 2 \cdot - 45}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.15.7

Factoriza $2$ de $2 (x^{4} + 6 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2})$ .

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 54 x) + 2 \cdot - 45}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.15.8

Factoriza $2$ de $2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 54 x)$ .

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x) + 2 \cdot - 45}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.15.9

Factoriza $2$ de $2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x) + 2 \cdot - 45$ .

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Paso 9.16

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3^{2})} = 0$

Paso 9.17

Factoriza.

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Paso 9.17.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45)}{(x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3))} = 0$

Paso 9.17.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45)}{(x + 3) (x - 3) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 9.18

Combina exponentes.

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Paso 9.18.1

Eleva $x + 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45)}{(x + 3) (x + 3) (x - 3) (x - 3)} = 0$

Paso 9.18.2

Eleva $x + 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45)}{(x + 3) (x + 3) (x - 3) (x - 3)} = 0$

Paso 9.18.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45)}{{(x + 3)}^{1 + 1} (x - 3) (x - 3)} = 0$

Paso 9.18.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3) (x - 3)} = 0$

Paso 9.18.5

Eleva $x - 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45)}{{(x + 3)}^{2} ((x - 3) (x - 3))} = 0$

Paso 9.18.6

Eleva $x - 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45)}{{(x + 3)}^{2} ((x - 3) (x - 3))} = 0$

Paso 9.18.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{1 + 1}} = 0$

Paso 9.18.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}} = 0$

Paso 10

Establece el numerador igual a cero.

$2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45) = 0$

Paso 11

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 11.1

Divide cada término en $2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 11.1.1

Divide cada término en $2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 11.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 11.1.2.1.2

Divide $x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45$ por $1$ .

$x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45 = \frac{0}{2}$

Paso 11.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.1.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45 = 0$

Paso 11.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 11.2.1

Reagrupa los términos.

$6 x^{3} - 54 x + x^{4} - 4 x^{2} - 45 = 0$

Paso 11.2.2

Factoriza $6 x$ de $6 x^{3} - 54 x$ .

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Paso 11.2.2.1

Factoriza $6 x$ de $6 x^{3}$ .

$6 x (x^{2}) - 54 x + x^{4} - 4 x^{2} - 45 = 0$

Paso 11.2.2.2

Factoriza $6 x$ de $- 54 x$ .

$6 x (x^{2}) + 6 x (- 9) + x^{4} - 4 x^{2} - 45 = 0$

Paso 11.2.2.3

Factoriza $6 x$ de $6 x (x^{2}) + 6 x (- 9)$ .

$6 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 4 x^{2} - 45 = 0$

Paso 11.2.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$6 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 4 x^{2} - 45 = 0$

Paso 11.2.4

Factoriza.

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Paso 11.2.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$6 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 4 x^{2} - 45 = 0$

Paso 11.2.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$6 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 4 x^{2} - 45 = 0$

Paso 11.2.5

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$6 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 4 x^{2} - 45 = 0$

Paso 11.2.6

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$6 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 4 u - 45 = 0$

Paso 11.2.7

Factoriza $u^{2} - 4 u - 45$ con el método AC.

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Paso 11.2.7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 45$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 9, 5$

Paso 11.2.7.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$6 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u + 5) = 0$

Paso 11.2.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$6 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} + 5) = 0$

Paso 11.2.9

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$6 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 5) = 0$

Paso 11.2.10

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$6 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 5) = 0$

Paso 11.2.11

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $6 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 5)$ .

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Paso 11.2.11.1

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $6 x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (6 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 5) = 0$

Paso 11.2.11.2

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $(x + 3) (x - 3) (6 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 5)$ .

$(x + 3) (x - 3) (6 x + x^{2} + 5) = 0$

Paso 11.2.12

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (6 u + u^{2} + 5) = 0$

Paso 11.2.13

Factoriza $6 u + u^{2} + 5$ con el método AC.

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Paso 11.2.13.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $5$ y cuya suma es $6$ .

$1, 5$

Paso 11.2.13.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x + 3) (x - 3) ((u + 1) (u + 5)) = 0$

Paso 11.2.14

Factoriza.

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Paso 11.2.14.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x + 1) (x + 5)) = 0$

Paso 11.2.14.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 3) (x - 3) (x + 1) (x + 5) = 0$

Paso 11.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Paso 11.4

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.4.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 11.4.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 11.5

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.5.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 11.5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 11.6

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.6.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 11.6.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 11.7

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.7.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 11.7.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 11.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 3) (x - 3) (x + 1) (x + 5) = 0$ verdadera.

$x = - 3, 3, - 1, - 5$

Paso 12

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}} = 0$ sea verdadera.

$x = - 1, - 5$