Álgebra Ejemplos

$\frac{14}{y - 7} - \frac{2}{y} = \frac{19 y + 7}{y^{2} - 49}$

Paso 1

Resta $\frac{19 y + 7}{y^{2} - 49}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{14}{y - 7} - \frac{2}{y} - \frac{19 y + 7}{y^{2} - 49} = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{14}{y - 7} - \frac{2}{y} - \frac{19 y + 7}{y^{2} - 49}$ .

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Paso 2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{14}{y - 7} - \frac{2}{y} - \frac{19 y + 7}{y^{2} - 7^{2}} = 0$

Paso 2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 7$ .

$\frac{14}{y - 7} - \frac{2}{y} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{14}{y - 7}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{14}{y - 7} \cdot \frac{y}{y} - \frac{2}{y} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.3

Para escribir $- \frac{2}{y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y - 7}{y - 7}$ .

$\frac{14}{y - 7} \cdot \frac{y}{y} - \frac{2}{y} \cdot \frac{y - 7}{y - 7} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(y - 7) y$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.4.1

Multiplica $\frac{14}{y - 7}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{14 y}{(y - 7) y} - \frac{2}{y} \cdot \frac{y - 7}{y - 7} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $\frac{2}{y}$ por $\frac{y - 7}{y - 7}$ .

$\frac{14 y}{(y - 7) y} - \frac{2 (y - 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.4.3

Reordena los factores de $(y - 7) y$ .

$\frac{14 y}{y (y - 7)} - \frac{2 (y - 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{14 y - 2 (y - 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Factoriza $2$ de $14 y - 2 (y - 7)$ .

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Paso 2.6.1.1

Factoriza $2$ de $14 y$ .

$\frac{2 (7 y) - 2 (y - 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.6.1.2

Factoriza $2$ de $- 2 (y - 7)$ .

$\frac{2 (7 y) + 2 (- (y - 7))}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.6.1.3

Factoriza $2$ de $2 (7 y) + 2 (- (y - 7))$ .

$\frac{2 (7 y - (y - 7))}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (7 y - y - - 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.6.3

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$\frac{2 (7 y - y + 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.6.4

Resta $y$ de $7 y$ .

$\frac{2 (6 y + 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.7

Para escribir $\frac{2 (6 y + 7)}{y (y - 7)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y + 7}{y + 7}$ .

$\frac{2 (6 y + 7)}{y (y - 7)} \cdot \frac{y + 7}{y + 7} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.8

Para escribir $- \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{2 (6 y + 7)}{y (y - 7)} \cdot \frac{y + 7}{y + 7} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} \cdot \frac{y}{y} = 0$

Paso 2.9

Escribe cada expresión con un denominador común de $y (y - 7) (y + 7)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.9.1

Multiplica $\frac{2 (6 y + 7)}{y (y - 7)}$ por $\frac{y + 7}{y + 7}$ .

$\frac{2 (6 y + 7) (y + 7)}{y (y - 7) (y + 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} \cdot \frac{y}{y} = 0$

Paso 2.9.2

Multiplica $\frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{2 (6 y + 7) (y + 7)}{y (y - 7) (y + 7)} - \frac{(19 y + 7) y}{(y + 7) (y - 7) y} = 0$

Paso 2.9.3

Reordena los factores de $y (y - 7) (y + 7)$ .

$\frac{2 (6 y + 7) (y + 7)}{y (y + 7) (y - 7)} - \frac{(19 y + 7) y}{(y + 7) (y - 7) y} = 0$

Paso 2.9.4

Reordena los factores de $(y + 7) (y - 7) y$ .

$\frac{2 (6 y + 7) (y + 7)}{y (y + 7) (y - 7)} - \frac{(19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (6 y + 7) (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11

Simplifica el numerador.

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Paso 2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 (6 y) + 2 \cdot 7) (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{(12 y + 2 \cdot 7) (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.3

Multiplica $2$ por $7$ .

$\frac{(12 y + 14) (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.4

Expande $(12 y + 14) (y + 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.11.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 y (y + 7) + 14 (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 y \cdot y + 12 y \cdot 7 + 14 (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 y \cdot y + 12 y \cdot 7 + 14 y + 14 \cdot 7 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.11.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.5.1.1

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.11.5.1.1.1

Mueve $y$ .

$\frac{12 (y \cdot y) + 12 y \cdot 7 + 14 y + 14 \cdot 7 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.5.1.1.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{12 y^{2} + 12 y \cdot 7 + 14 y + 14 \cdot 7 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.5.1.2

Multiplica $7$ por $12$ .

$\frac{12 y^{2} + 84 y + 14 y + 14 \cdot 7 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.5.1.3

Multiplica $14$ por $7$ .

$\frac{12 y^{2} + 84 y + 14 y + 98 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.5.2

Suma $84 y$ y $14 y$ .

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 + (- (19 y) - 1 \cdot 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.7

Multiplica $19$ por $- 1$ .

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 + (- 19 y - 1 \cdot 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.8

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 + (- 19 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.9

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 - 19 y \cdot y - 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.10

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.11.10.1

Mueve $y$ .

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 - 19 (y \cdot y) - 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.10.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 - 19 y^{2} - 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.11

Resta $19 y^{2}$ de $12 y^{2}$ .

$\frac{- 7 y^{2} + 98 y + 98 - 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.12

Resta $7 y$ de $98 y$ .

$\frac{- 7 y^{2} + 91 y + 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.13

Reescribe $- 7 y^{2} + 91 y + 98$ en forma factorizada.

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Paso 2.11.13.1

Factoriza $7$ de $- 7 y^{2} + 91 y + 98$ .

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Paso 2.11.13.1.1

Factoriza $7$ de $- 7 y^{2}$ .

$\frac{7 (- y^{2}) + 91 y + 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.13.1.2

Factoriza $7$ de $91 y$ .

$\frac{7 (- y^{2}) + 7 (13 y) + 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.13.1.3

Factoriza $7$ de $98$ .

$\frac{7 (- y^{2}) + 7 (13 y) + 7 (14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.13.1.4

Factoriza $7$ de $7 (- y^{2}) + 7 (13 y)$ .

$\frac{7 (- y^{2} + 13 y) + 7 (14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.13.1.5

Factoriza $7$ de $7 (- y^{2} + 13 y) + 7 (14)$ .

$\frac{7 (- y^{2} + 13 y + 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.13.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.11.13.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 14 = - 14$ y cuya suma es $b = 13$ .

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Paso 2.11.13.2.1.1

Factoriza $13$ de $13 y$ .

$\frac{7 (- y^{2} + 13 (y) + 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.13.2.1.2

Reescribe $13$ como $- 1$ más $14$

$\frac{7 (- y^{2} + (- 1 + 14) y + 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.13.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 (- y^{2} - 1 y + 14 y + 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.13.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.11.13.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{7 ((- y^{2} - 1 y) + 14 y + 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.13.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{7 (y (- y - 1) - 14 (- y - 1))}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.11.13.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- y - 1$ .

$\frac{7 ((- y - 1) (y - 14))}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

$\frac{7 (- y - 1) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.12

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$\frac{7 (- (y) - 1) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.13

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{7 (- (y) - 1 (1)) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.14

Factoriza $- 1$ de $- (y) - 1 (1)$ .

$\frac{7 (- (y + 1)) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.15

Reescribe $- (y + 1)$ como $- 1 (y + 1)$ .

$\frac{7 (- 1 (y + 1)) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(7 (y + 1)) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 2.17

Reordena los factores en $- \frac{(7 (y + 1)) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)}$ .

$- \frac{7 (y + 1) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Paso 3

Establece el numerador igual a cero.

$7 (y + 1) (y - 14) = 0$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Paso 4.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y + 1 = 0$

$y - 14 = 0$

Paso 4.2

Establece $y + 1$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 4.2.1

Establece $y + 1$ igual a $0$ .

$y + 1 = 0$

Paso 4.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 1$

Paso 4.3

Establece $y - 14$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 4.3.1

Establece $y - 14$ igual a $0$ .

$y - 14 = 0$

Paso 4.3.2

Suma $14$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 14$

Paso 4.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $7 (y + 1) (y - 14) = 0$ verdadera.

$y = - 1, 14$