Álgebra Ejemplos

$x = 3 + \sqrt{x^{2} - 9}$

Paso 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x - 3 = \sqrt{x^{2} - 9}$

Paso 1.2

Resta $\sqrt{x^{2} - 9}$ de ambos lados de la ecuación.

$x - 3 - \sqrt{x^{2} - 9} = 0$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x - 3 - \sqrt{x^{2} - 3^{2}} = 0$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$x - 3 - \sqrt{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 3

Mueve todos los términos que no contengan $- \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 - \sqrt{(x + 3) (x - 3)} = - x$

Paso 3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$- \sqrt{(x + 3) (x - 3)} = - x + 3$

Paso 4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Paso 5

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ como ${((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica ${(- {((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Expande $(x + 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(- {(x (x - 3) + 3 (x - 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Paso 5.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(- {(x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Paso 5.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

${(- {(x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.1.2.1

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Paso 5.2.1.2.1.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot - 3$ y $3 x$ .

${(- {(x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Paso 5.2.1.2.1.2

Suma $- 3 x$ y $3 x$ .

${(- {(x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Paso 5.2.1.2.1.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

${(- {(x \cdot x + 3 \cdot - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Paso 5.2.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.2.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

${(- {(x^{2} + 3 \cdot - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Paso 5.2.1.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 3$ .

${(- {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Paso 5.2.1.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.1.2.3.1

Aplica la regla del producto a $- {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Paso 5.2.1.2.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 {({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Paso 5.2.1.2.3.3

Multiplica ${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Paso 5.2.1.2.3.4

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.2.3.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 3)}^{2}$

Paso 5.2.1.2.3.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.2.3.4.2.1

Cancela el factor común.

${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 3)}^{2}$

Paso 5.2.1.2.3.4.2.2

Reescribe la expresión.

${(x^{2} - 9)}^{1} = {(- x + 3)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Simplifica.

$x^{2} - 9 = {(- x + 3)}^{2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Simplifica ${(- x + 3)}^{2}$ .

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Paso 5.3.1.1

Reescribe ${(- x + 3)}^{2}$ como $(- x + 3) (- x + 3)$ .

$x^{2} - 9 = (- x + 3) (- x + 3)$

Paso 5.3.1.2

Expande $(- x + 3) (- x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 9 = - x (- x + 3) + 3 (- x + 3)$

Paso 5.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 9 = - x (- x) - x \cdot 3 + 3 (- x + 3)$

Paso 5.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 9 = - x (- x) - x \cdot 3 + 3 (- x) + 3 \cdot 3$

Paso 5.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} - 9 = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot 3 + 3 (- x) + 3 \cdot 3$

Paso 5.3.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$x^{2} - 9 = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot 3 + 3 (- x) + 3 \cdot 3$

Paso 5.3.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} - 9 = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot 3 + 3 (- x) + 3 \cdot 3$

Paso 5.3.1.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} - 9 = 1 x^{2} - x \cdot 3 + 3 (- x) + 3 \cdot 3$

Paso 5.3.1.3.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} - 9 = x^{2} - x \cdot 3 + 3 (- x) + 3 \cdot 3$

Paso 5.3.1.3.1.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$x^{2} - 9 = x^{2} - 3 x + 3 (- x) + 3 \cdot 3$

Paso 5.3.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$x^{2} - 9 = x^{2} - 3 x - 3 x + 3 \cdot 3$

Paso 5.3.1.3.1.7

Multiplica $3$ por $3$ .

$x^{2} - 9 = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

Paso 5.3.1.3.2

Resta $3 x$ de $- 3 x$ .

$x^{2} - 9 = x^{2} - 6 x + 9$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x^{2} - 6 x + 9 = x^{2} - 9$

Paso 6.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 6 x + 9 - x^{2} = - 9$

Paso 6.2.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} - 6 x + 9 - x^{2}$ .

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Paso 6.2.2.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 6 x + 9 + 0 = - 9$

Paso 6.2.2.2

Suma $- 6 x + 9$ y $0$ .

$- 6 x + 9 = - 9$

Paso 6.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.3.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$- 6 x = - 9 - 9$

Paso 6.3.2

Resta $9$ de $- 9$ .

$- 6 x = - 18$

Paso 6.4

Divide cada término en $- 6 x = - 18$ por $- 6$ y simplifica.

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Paso 6.4.1

Divide cada término en $- 6 x = - 18$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 18}{- 6}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.1

Cancela el factor común de $- 6$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 18}{- 6}$

Paso 6.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 18}{- 6}$

Paso 6.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.3.1

Divide $- 18$ por $- 6$ .

$x = 3$