Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 6 x + 5} \div \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 7 x + 10}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 6 x + 5} \cdot \frac{x^{2} - 7 x + 10}{x^{2} + 2 x - 3}$

Paso 2

Factoriza $x^{2} + x - 6$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $1$ .

$- 2, 3$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{x^{2} - 6 x + 5} \cdot \frac{x^{2} - 7 x + 10}{x^{2} + 2 x - 3}$

Paso 3

Factoriza $x^{2} - 6 x + 5$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $5$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 5, - 1$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{(x - 5) (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} - 7 x + 10}{x^{2} + 2 x - 3}$

Paso 4

Factoriza $x^{2} - 7 x + 10$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $10$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 5, - 2$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{(x - 5) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 5) (x - 2)}{x^{2} + 2 x - 3}$

Paso 5

Factoriza $x^{2} + 2 x - 3$ con el método AC.

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Paso 5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $2$ .

$- 1, 3$

Paso 5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{(x - 5) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 5) (x - 2)}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 6

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 6.1

Factoriza $x + 3$ de $(x - 2) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 3) (x - 2)}{(x - 5) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 5) (x - 2)}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 6.2

Factoriza $x + 3$ de $(x - 1) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 3) (x - 2)}{(x - 5) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 5) (x - 2)}{(x + 3) (x - 1)}$

Paso 6.3

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 3) (x - 2)}{(x - 5) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 5) (x - 2)}{(x + 3) (x - 1)}$

Paso 6.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 2}{(x - 5) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 5) (x - 2)}{x - 1}$

Paso 7

Cancela el factor común de $x - 5$ .

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Paso 7.1

Cancela el factor común.

$\frac{x - 2}{(x - 5) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 5) (x - 2)}{x - 1}$

Paso 7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 2}{x - 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 1}$

Paso 8

Multiplica $\frac{x - 2}{x - 1}$ por $\frac{x - 2}{x - 1}$ .

$\frac{(x - 2) (x - 2)}{(x - 1) (x - 1)}$

Paso 9

Eleva $x - 2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{1} (x - 2)}{(x - 1) (x - 1)}$

Paso 10

Eleva $x - 2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1}}{(x - 1) (x - 1)}$

Paso 11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(x - 2)}^{1 + 1}}{(x - 1) (x - 1)}$

Paso 12

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{(x - 1) (x - 1)}$

Paso 13

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{1} (x - 1)}$

Paso 14

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1}}$

Paso 15

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{1 + 1}}$

Paso 16

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 17

Reescribe ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$\frac{(x - 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 18

Expande $(x - 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x - 2) - 2 (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 18.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 18.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 19

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 19.1

Simplifica cada término.

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Paso 19.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 19.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 19.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 2 x + 4}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 19.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 20

Divide la fracción $\frac{x^{2} - 4 x + 4}{{(x - 1)}^{2}}$ en dos fracciones.

$\frac{x^{2} - 4 x}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{4}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 21

Divide la fracción $\frac{x^{2} - 4 x}{{(x - 1)}^{2}}$ en dos fracciones.

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{- 4 x}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{4}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 22

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}} - \frac{4 x}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{4}{{(x - 1)}^{2}}$