Álgebra Ejemplos

${(x + (3 + 5 i))}^{2}$

Paso 1

Usa el teorema de expansión binomial para obtener cada término. El teorema del binomio establece ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(x)}^{2 - k} \cdot {(3 + 5 i)}^{k}$

Paso 2

Expande la suma.

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} {(x)}^{2 - 0} \cdot {(3 + 5 i)}^{0} + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} {(x)}^{2 - 1} \cdot {(3 + 5 i)}^{1} + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} {(x)}^{2 - 2} \cdot {(3 + 5 i)}^{2}$

Paso 3

Simplifica los exponentes para cada término de la expansión.

$1 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(3 + 5 i)}^{0} + 2 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(3 + 5 i)}^{1} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(3 + 5 i)}^{2}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(x)}^{2}$ por $1$ .

${(x)}^{2} \cdot {(3 + 5 i)}^{0} + 2 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(3 + 5 i)}^{1} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(3 + 5 i)}^{2}$

Paso 4.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{2} \cdot 1 + 2 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(3 + 5 i)}^{1} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(3 + 5 i)}^{2}$

Paso 4.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + 2 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(3 + 5 i)}^{1} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(3 + 5 i)}^{2}$

Paso 4.4

Simplifica.

$x^{2} + 2 \cdot x \cdot {(3 + 5 i)}^{1} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(3 + 5 i)}^{2}$

Paso 4.5

Simplifica.

$x^{2} + 2 x \cdot (3 + 5 i) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(3 + 5 i)}^{2}$

Paso 4.6

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 2 x \cdot 3 + 2 x (5 i) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(3 + 5 i)}^{2}$

Paso 4.7

Multiplica $3$ por $2$ .

$x^{2} + 6 x + 2 x (5 i) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(3 + 5 i)}^{2}$

Paso 4.8

Multiplica $5$ por $2$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(3 + 5 i)}^{2}$

Paso 4.9

Multiplica ${(x)}^{0}$ por $1$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i + {(x)}^{0} \cdot {(3 + 5 i)}^{2}$

Paso 4.10

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i + 1 \cdot {(3 + 5 i)}^{2}$

Paso 4.11

Multiplica ${(3 + 5 i)}^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i + {(3 + 5 i)}^{2}$

Paso 4.12

Reescribe ${(3 + 5 i)}^{2}$ como $(3 + 5 i) (3 + 5 i)$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i + (3 + 5 i) (3 + 5 i)$

Paso 4.13

Expande $(3 + 5 i) (3 + 5 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 6 x + 10 x i + 3 (3 + 5 i) + 5 i (3 + 5 i)$

Paso 4.13.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 6 x + 10 x i + 3 \cdot 3 + 3 (5 i) + 5 i (3 + 5 i)$

Paso 4.13.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 6 x + 10 x i + 3 \cdot 3 + 3 (5 i) + 5 i \cdot 3 + 5 i (5 i)$

Paso 4.14

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.14.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.14.1.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i + 9 + 3 (5 i) + 5 i \cdot 3 + 5 i (5 i)$

Paso 4.14.1.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i + 9 + 15 i + 5 i \cdot 3 + 5 i (5 i)$

Paso 4.14.1.3

Multiplica $3$ por $5$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i + 9 + 15 i + 15 i + 5 i (5 i)$

Paso 4.14.1.4

Multiplica $5 i (5 i)$ .

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Paso 4.14.1.4.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i + 9 + 15 i + 15 i + 25 i i$

Paso 4.14.1.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i + 9 + 15 i + 15 i + 25 (i^{1} i)$

Paso 4.14.1.4.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i + 9 + 15 i + 15 i + 25 (i^{1} i^{1})$

Paso 4.14.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} + 6 x + 10 x i + 9 + 15 i + 15 i + 25 i^{1 + 1}$

Paso 4.14.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i + 9 + 15 i + 15 i + 25 i^{2}$

Paso 4.14.1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i + 9 + 15 i + 15 i + 25 \cdot - 1$

Paso 4.14.1.6

Multiplica $25$ por $- 1$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i + 9 + 15 i + 15 i - 25$

Paso 4.14.2

Resta $25$ de $9$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i - 16 + 15 i + 15 i$

Paso 4.14.3

Suma $15 i$ y $15 i$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i - 16 + 30 i$