Álgebra Ejemplos

$9 x^{4} = 25 x^{2} - 16$

Paso 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $25 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$9 x^{4} - 25 x^{2} = - 16$

Paso 1.2

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$9 x^{4} - 25 x^{2} + 16 = 0$

Paso 2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$9 {(x^{2})}^{2} - 25 x^{2} + 16 = 0$

Paso 3

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$9 u^{2} - 25 u + 16 = 0$

Paso 4

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 9 \cdot 16 = 144$ y cuya suma es $b = - 25$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $- 25$ de $- 25 u$ .

$9 u^{2} - 25 u + 16 = 0$

Paso 4.1.2

Reescribe $- 25$ como $- 9$ más $- 16$

$9 u^{2} + (- 9 - 16) u + 16 = 0$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$9 u^{2} - 9 u - 16 u + 16 = 0$

Paso 4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(9 u^{2} - 9 u) - 16 u + 16 = 0$

Paso 4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$9 u (u - 1) - 16 (u - 1) = 0$

Paso 4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $u - 1$ .

$(u - 1) (9 u - 16) = 0$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$(x^{2} - 1) (9 x^{2} - 16) = 0$

Paso 6

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(x^{2} - 1^{2}) (9 x^{2} - 16) = 0$

Paso 7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(x + 1) (x - 1) (9 x^{2} - 16) = 0$

Paso 8

Reescribe $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$(x + 1) (x - 1) ({(3 x)}^{2} - 16) = 0$

Paso 9

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$(x + 1) (x - 1) ({(3 x)}^{2} - 4^{2}) = 0$

Paso 10

Factoriza.

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Paso 10.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3 x$ y $b = 4$ .

$(x + 1) (x - 1) ((3 x + 4) (3 x - 4)) = 0$

Paso 10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 1) (x - 1) (3 x + 4) (3 x - 4) = 0$

Paso 11

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$3 x + 4 = 0$

$3 x - 4 = 0$

Paso 12

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 12.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 13

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 13.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 14

Establece $3 x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 14.1

Establece $3 x + 4$ igual a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Paso 14.2

Resuelve $3 x + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 14.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 4$

Paso 14.2.2

Divide cada término en $3 x = - 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 14.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Paso 14.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 14.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 14.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Paso 14.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Paso 14.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 14.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{4}{3}$

Paso 15

Establece $3 x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 15.1

Establece $3 x - 4$ igual a $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Paso 15.2

Resuelve $3 x - 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 15.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 4$

Paso 15.2.2

Divide cada término en $3 x = 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 15.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 15.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 15.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 15.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 15.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Paso 16

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x - 1) (3 x + 4) (3 x - 4) = 0$ verdadera.

$x = - 1, 1, - \frac{4}{3}, \frac{4}{3}$