Álgebra Ejemplos

$3 x^{\frac{4}{3}} + 5 = 53$

Paso 1

Resta $53$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{\frac{4}{3}} + 5 - 53 = 0$

Paso 2

Resta $53$ de $5$ .

$3 x^{\frac{4}{3}} - 48 = 0$

Paso 3

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{4}{3}} - 48$ .

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Paso 3.1

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{4}{3}}$ .

$3 (x^{\frac{4}{3}}) - 48 = 0$

Paso 3.2

Factoriza $3$ de $- 48$ .

$3 x^{\frac{4}{3}} + 3 \cdot - 16 = 0$

Paso 3.3

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{4}{3}} + 3 \cdot - 16$ .

$3 (x^{\frac{4}{3}} - 16) = 0$

Paso 4

Reescribe $x^{\frac{4}{3}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

$3 ({(x^{\frac{2}{3}})}^{2} - 16) = 0$

Paso 5

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$3 ({(x^{\frac{2}{3}})}^{2} - 4^{2}) = 0$

Paso 6

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{\frac{2}{3}}$ y $b = 4$ .

$3 ((x^{\frac{2}{3}} + 4) (x^{\frac{2}{3}} - 4)) = 0$

Paso 7

Factoriza.

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Reescribe $x^{\frac{2}{3}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$3 ((x^{\frac{2}{3}} + 4) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 4)) = 0$

Paso 7.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$3 ((x^{\frac{2}{3}} + 4) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 2^{2})) = 0$

Paso 7.1.3

Factoriza.

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Paso 7.1.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{\frac{1}{3}}$ y $b = 2$ .

$3 ((x^{\frac{2}{3}} + 4) ((x^{\frac{1}{3}} + 2) (x^{\frac{1}{3}} - 2))) = 0$

Paso 7.1.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$3 ((x^{\frac{2}{3}} + 4) (x^{\frac{1}{3}} + 2) (x^{\frac{1}{3}} - 2)) = 0$

Paso 7.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$3 (x^{\frac{2}{3}} + 4) (x^{\frac{1}{3}} + 2) (x^{\frac{1}{3}} - 2) = 0$

Paso 8

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} + 4 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Paso 9

Establece $x^{\frac{2}{3}} + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.1

Establece $x^{\frac{2}{3}} + 4$ igual a $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} + 4 = 0$

Paso 9.2

Resuelve $x^{\frac{2}{3}} + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 9.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{2}{3}} = - 4$

Paso 9.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{3}{2}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 9.2.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.3.1

Simplifica ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 9.2.3.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 9.2.3.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 9.2.3.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 9.2.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 9.2.3.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.2.3.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 9.2.3.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 9.2.3.1.2

Simplifica.

$x = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 9.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 9.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 9.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 9.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = {(- 4)}^{\frac{3}{2}}, - {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 10

Establece $x^{\frac{1}{3}} + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $x^{\frac{1}{3}} + 2$ igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$

Paso 10.2

Resuelve $x^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 10.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{1}{3}} = - 2$

Paso 10.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 2)}^{3}$

Paso 10.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 10.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 10.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 10.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{3}$

Paso 10.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 10.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{3}$

Paso 10.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(- 2)}^{3}$

Paso 10.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = {(- 2)}^{3}$

Paso 10.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.3.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$x = - 8$

Paso 11

Establece $x^{\frac{1}{3}} - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x^{\frac{1}{3}} - 2$ igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Paso 11.2

Resuelve $x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{1}{3}} = 2$

Paso 11.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Paso 11.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 11.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 11.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 11.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Paso 11.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 11.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Paso 11.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 2^{3}$

Paso 11.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = 2^{3}$

Paso 11.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.2.3.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$x = 8$

Paso 12

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 (x^{\frac{2}{3}} + 4) (x^{\frac{1}{3}} + 2) (x^{\frac{1}{3}} - 2) = 0$ verdadera.

$x = {(- 4)}^{\frac{3}{2}}, - {(- 4)}^{\frac{3}{2}}, - 8, 8$

Paso 13

Excluye las soluciones que no hagan que $3 (x^{\frac{2}{3}} + 4) (x^{\frac{1}{3}} + 2) (x^{\frac{1}{3}} - 2) = 0$ sea verdadera.

$x = - 8, 8$