Álgebra Ejemplos

$x^{4} - 4 x^{3} - 5 x^{2} + 16 x + 4 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reagrupa los términos.

$- 4 x^{3} + 16 x + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Paso 1.2

Factoriza $- 4 x$ de $- 4 x^{3} + 16 x$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $- 4 x$ de $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} + 16 x + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $- 4 x$ de $16 x$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 4 + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Paso 1.2.3

Factoriza $- 4 x$ de $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 4)$ .

$- 4 x (x^{2} - 4) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Paso 1.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} - 2^{2}) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Paso 1.4

Factoriza.

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Paso 1.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$- 4 x ((x + 2) (x - 2)) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Paso 1.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 4 x (x + 2) (x - 2) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Paso 1.5

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 4 x (x + 2) (x - 2) + {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Paso 1.6

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- 4 x (x + 2) (x - 2) + u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Paso 1.7

Factoriza $u^{2} - 5 u + 4$ con el método AC.

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Paso 1.7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $4$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 4, - 1$

Paso 1.7.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 4 x (x + 2) (x - 2) + (u - 4) (u - 1) = 0$

Paso 1.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- 4 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 4) (x^{2} - 1) = 0$

Paso 1.9

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- 4 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 1) = 0$

Paso 1.10

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$- 4 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1) = 0$

Paso 1.11

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- 4 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Paso 1.12

Factoriza.

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Paso 1.12.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$- 4 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Paso 1.12.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 4 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 1.13

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $- 4 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)$ .

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Paso 1.13.1

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $- 4 x (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 1.13.2

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $(x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x) + (x + 2) (x - 2) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Paso 1.13.3

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $(x + 2) (x - 2) (- 4 x) + (x + 2) (x - 2) ((x + 1) (x - 1))$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + (x + 1) (x - 1)) = 0$

Paso 1.14

Expande $(x + 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + x (x - 1) + 1 (x - 1)) = 0$

Paso 1.14.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) = 0$

Paso 1.14.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) = 0$

Paso 1.15

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.15.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.15.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) = 0$

Paso 1.15.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1) = 0$

Paso 1.15.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) = 0$

Paso 1.15.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) = 0$

Paso 1.15.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + x^{2} - x + x - 1) = 0$

Paso 1.15.2

Suma $- x$ y $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + x^{2} + 0 - 1) = 0$

Paso 1.15.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + x^{2} - 1) = 0$

Paso 1.16

Reordena los términos.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 x - 1) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Paso 3

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 3.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 4

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 5

Establece $x^{2} - 4 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x^{2} - 4 x - 1$ igual a $0$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 4$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3

Simplifica.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.3

Suma $16$ y $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 5.2.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Paso 5.2.3.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Paso 5.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 x - 1) = 0$ verdadera.

$x = - 2, 2, 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - 2, 2, 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

Forma decimal:

$x = - 2, 2, 4.23606797 \dots, - 0.23606797 \dots$

Paso 8