Álgebra Ejemplos

$\ln (x) = 3 - \ln (x + 2)$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (x) + \ln (x + 2) = 3$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 2)) = 3$

Paso 3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2) = 3$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 2) = 3$

Paso 4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\ln (x^{2} + 2 x) = 3$

Paso 5

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x^{2} + 2 x)} = e^{3}$

Paso 6

Reescribe $\ln (x^{2} + 2 x) = 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3} = x^{2} + 2 x$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} + 2 x = e^{3}$ .

$x^{2} + 2 x = e^{3}$

Paso 7.2

Resta $e^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 2 x - e^{3} = 0$

Paso 7.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 2$ y $c = - e^{3}$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- e^{3}))}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5

Simplifica.

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Paso 7.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{3})}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 7.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 e^{3})}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 e^{3}}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.3

Reescribe $4 + 4 e^{3}$ como $2^{2} (1 + e^{3})$ .

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Paso 7.5.1.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 e^{3}}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.3.2

Factoriza $4$ de $4 e^{3}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (e^{3})}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.3.3

Factoriza $4$ de $4 (1) + 4 (e^{3})$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + e^{3})}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.3.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + e^{3})}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + e^{3}}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.5

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{3} + e^{3}}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.6

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = e$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(1 + e) (1^{2} - 1 e + e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.7

Simplifica.

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Paso 7.5.1.7.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(1 + e) (1 - 1 e + e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.7.2

Reescribe $- 1 e$ como $- e$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}}{2}$

Paso 7.5.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}$

Paso 7.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 1 + \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}, - 1 - \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}$

Paso 8

Excluye las soluciones que no hagan que $\ln (x) = 3 - \ln (x + 2)$ sea verdadera.

$x = - 1 + \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - 1 + \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}$

Forma decimal:

$x = 3.59189905 \dots$