Álgebra Ejemplos

$2 \ln (x) + 3 \ln (2) = 5$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$2 \ln (x) + 3 \ln (2) = 5$

Paso 2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Simplifica $2 \ln (x) + 3 \ln (2)$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Simplifica $2 \ln (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (x^{2}) + 3 \ln (2) = 5$

Paso 2.1.1.2

Simplifica $3 \ln (2)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\ln (x^{2}) + \ln (2^{3}) = 5$

Paso 2.1.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\ln (x^{2}) + \ln (8) = 5$

Paso 2.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{2} \cdot 8) = 5$

Paso 2.1.3

Mueve $8$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\ln (8 x^{2}) = 5$

Paso 3

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (8 x^{2})} = e^{5}$

Paso 4

Reescribe $\ln (8 x^{2}) = 5$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{5} = 8 x^{2}$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $8 x^{2} = e^{5}$ .

$8 x^{2} = e^{5}$

Paso 5.2

Divide cada término en $8 x^{2} = e^{5}$ por $8$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $8 x^{2} = e^{5}$ por $8$ .

$\frac{8 x^{2}}{8} = \frac{e^{5}}{8}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 x^{2}}{8} = \frac{e^{5}}{8}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{e^{5}}{8}$

Paso 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{e^{5}}{8}}$

Paso 5.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{e^{5}}{8}}$ .

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Paso 5.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{e^{5}}{8}}$ como $\frac{\sqrt{e^{5}}}{\sqrt{8}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e^{5}}}{\sqrt{8}}$

Paso 5.4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.2.1

Reescribe $e^{5}$ como ${(e^{2})}^{2} e$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Factoriza $e^{4}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e^{4} e}}{\sqrt{8}}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe $e^{4}$ como ${(e^{2})}^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{{(e^{2})}^{2} e}}{\sqrt{8}}$

Paso 5.4.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e}}{\sqrt{8}}$

Paso 5.4.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.4.3.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 5.4.3.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e}}{\sqrt{4 (2)}}$

Paso 5.4.3.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Paso 5.4.3.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 5.4.4

Multiplica $\frac{e^{2} \sqrt{e}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 5.4.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.4.5.1

Multiplica $\frac{e^{2} \sqrt{e}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 5.4.5.2

Mueve $\sqrt{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 5.4.5.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Paso 5.4.5.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Paso 5.4.5.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 5.4.5.6

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 5.4.5.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 5.4.5.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.4.5.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.4.5.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.4.5.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.5.7.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.4.5.7.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Paso 5.4.5.7.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.4.6

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.4.7

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

Paso 5.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

Paso 5.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

Paso 5.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}, - \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

Paso 6

Excluye las soluciones que no hagan que $2 \ln (x) + 3 \ln (2) = 5$ sea verdadera.

$x = \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

Forma decimal:

$x = 4.30716204 \dots$