Álgebra Ejemplos

$\log_{8} (48) - \log_{8} (x) = \log_{8} (4)$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{8} (\frac{48}{x}) = \log_{8} (4)$

Paso 2

El logaritmo en base $8$ de $4$ es $\frac{2}{3}$ .

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Paso 2.1

Reescribe como una ecuación.

$\log_{8} (4) = x$

Paso 2.2

Reescribe $\log_{8} (4) = x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ no es igual a $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$8^{x} = 4$

Paso 2.3

Crea expresiones en la ecuación que tengan bases iguales.

${(2^{3})}^{x} = 2^{2}$

Paso 2.4

Reescribe ${(2^{3})}^{x}$ como $2^{3 x}$ .

$2^{3 x} = 2^{2}$

Paso 2.5

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$3 x = 2$

Paso 2.6

Resuelve $x$

$x = \frac{2}{3}$

Paso 2.7

La variable $x$ es igual a $\frac{2}{3}$ .

$\log_{8} (\frac{48}{x}) = \frac{2}{3}$

Paso 3

Reescribe $\log_{8} (\frac{48}{x}) = \frac{2}{3}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$8^{\frac{2}{3}} = \frac{48}{x}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{48}{x} = 8^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{48}{x} = 8^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2

Factoriza cada término.

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Paso 4.2.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{48}{x} = {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{48}{x} = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{48}{x} = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 4.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{48}{x} = 2^{2}$

Paso 4.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{48}{x} = 4$

Paso 4.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 4.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x, 1$

Paso 4.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x$

Paso 4.4

Multiplica cada término en $\frac{48}{x} = 4$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.4.1

Multiplica cada término en $\frac{48}{x} = 4$ por $x$ .

$\frac{48}{x} x = 4 x$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{48}{x} x = 4 x$

Paso 4.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$48 = 4 x$

Paso 4.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.5.1

Reescribe la ecuación como $4 x = 48$ .

$4 x = 48$

Paso 4.5.2

Divide cada término en $4 x = 48$ por $4$ y simplifica.

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Paso 4.5.2.1

Divide cada término en $4 x = 48$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{48}{4}$

Paso 4.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{48}{4}$

Paso 4.5.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{48}{4}$

Paso 4.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.5.2.3.1

Divide $48$ por $4$ .

$x = 12$