Álgebra Ejemplos

$(3, - 1)$

Paso 1

Para obtener una función exponencial, $f (x) = a^{x}$ , que contenga el punto, establece $f (x)$ en la función al valor $y$ $- 1$ del punto, y establece $x$ al valor $x$ $3$ del punto.

$- 1 = a^{3}$

Paso 2

Resuelve la ecuación en $a$ .

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $a^{3} = - 1$ .

$a^{3} = - 1$

Paso 2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$a^{3} + 1 = 0$

Paso 2.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.3.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$a^{3} + 1^{3} = 0$

Paso 2.3.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = a$ y $b = 1$ .

$(a + 1) (a^{2} - a \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(a + 1) (a^{2} - a + 1^{2}) = 0$

Paso 2.3.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(a + 1) (a^{2} - a + 1) = 0$

Paso 2.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$a + 1 = 0$

$a^{2} - a + 1 = 0$

Paso 2.5

Establece $a + 1$ igual a $0$ y resuelve $a$ .

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Paso 2.5.1

Establece $a + 1$ igual a $0$ .

$a + 1 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$a = - 1$

Paso 2.6

Establece $a^{2} - a + 1$ igual a $0$ y resuelve $a$ .

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Paso 2.6.1

Establece $a^{2} - a + 1$ igual a $0$ .

$a^{2} - a + 1 = 0$

Paso 2.6.2

Resuelve $a^{2} - a + 1 = 0$ en $a$ .

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Paso 2.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 1$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $a$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3

Simplifica.

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Paso 2.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.2.3.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 2.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$a = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.6.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.2.4.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 2.6.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$a = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$a = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.6.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.2.5.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 2.6.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$a = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$a = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$a = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(a + 1) (a^{2} - a + 1) = 0$ verdadera.

$a = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.8

Elimina todos los valores que contienen componentes imaginarios.

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Paso 2.8.1

No hay componentes imaginarios. Suma $- 1$ a la respuesta final.

$- 1$ es un número real

Paso 2.8.2

La letra $i$ representa un componente imaginario y no es un número real. No sumes $\frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ a la respuesta final.

$\frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ no es un número real

Paso 2.8.3

La letra $i$ representa un componente imaginario y no es un número real. No sumes $\frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ a la respuesta final.

$\frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ no es un número real

Paso 2.8.4

La respuesta final es la lista de los valores que no contienen componentes imaginarios.

$a = - 1$

Paso 3

Sustituye cada valor por $a$ de nuevo en la función $f (x) = a^{x}$ para obtener todas las funciones exponenciales posibles.

$f (x) = {(- 1)}^{x}$