Álgebra Ejemplos

${(y^{2} + 6 y)}^{2} + 14 (y^{2} + 6 y) + 45 = 0$

Paso 1

Sea $u = y^{2} + 6 y$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $y^{2} + 6 y$ .

$u^{2} + 14 u + 45 = 0$

Paso 2

Factoriza $u^{2} + 14 u + 45$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $45$ y cuya suma es $14$ .

$5, 9$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u + 5) (u + 9) = 0$

Paso 3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{2} + 6 y$ .

$(y^{2} + 6 y + 5) (y^{2} + 6 y + 9) = 0$

Paso 4

Factoriza $y^{2} + 6 y + 5$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $5$ y cuya suma es $6$ .

$1, 5$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(y + 1) (y + 5) (y^{2} + 6 y + 9) = 0$

Paso 5

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$(y + 1) (y + 5) (y^{2} + 6 y + 3^{2}) = 0$

Paso 5.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 y = 2 \cdot y \cdot 3$

Paso 5.3

Reescribe el polinomio.

$(y + 1) (y + 5) (y^{2} + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Paso 5.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = y$ y $b = 3$ .

$(y + 1) (y + 5) {(y + 3)}^{2} = 0$

Paso 6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y + 1 = 0$

$y + 5 = 0$

${(y + 3)}^{2} = 0$

Paso 7

Establece $y + 1$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 7.1

Establece $y + 1$ igual a $0$ .

$y + 1 = 0$

Paso 7.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 1$

Paso 8

Establece $y + 5$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 8.1

Establece $y + 5$ igual a $0$ .

$y + 5 = 0$

Paso 8.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 5$

Paso 9

Establece ${(y + 3)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 9.1

Establece ${(y + 3)}^{2}$ igual a $0$ .

${(y + 3)}^{2} = 0$

Paso 9.2

Resuelve ${(y + 3)}^{2} = 0$ en $y$ .

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Paso 9.2.1

Establece $y + 3$ igual a $0$ .

$y + 3 = 0$

Paso 9.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 3$

Paso 10

La solución final comprende todos los valores que hacen $(y + 1) (y + 5) {(y + 3)}^{2} = 0$ verdadera.

$y = - 1, - 5, - 3$