Álgebra Ejemplos

$\frac{\sqrt{- 4}}{(5 + 2 i) - (3 - 4 i)}$

Paso 1

Extrae la unidad imaginaria $i$ .

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Paso 1.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$\frac{\sqrt{- 1 (4)}}{(5 + 2 i) - (3 - 4 i)}$

Paso 1.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$\frac{\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{(5 + 2 i) - (3 - 4 i)}$

Paso 1.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$\frac{i \cdot \sqrt{4}}{(5 + 2 i) - (3 - 4 i)}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{i \sqrt{2^{2}}}{5 + 2 i - (3 - 4 i)}$

Paso 2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{i \cdot 2}{5 + 2 i - (3 - 4 i)}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{i \cdot 2}{5 + 2 i - 1 \cdot 3 - (- 4 i)}$

Paso 3.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{i \cdot 2}{5 + 2 i - 3 - (- 4 i)}$

Paso 3.3

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{i \cdot 2}{5 + 2 i - 3 + 4 i}$

Paso 3.4

Resta $3$ de $5$ .

$\frac{i \cdot 2}{2 + 2 i + 4 i}$

Paso 3.5

Suma $2 i$ y $4 i$ .

$\frac{i \cdot 2}{2 + 6 i}$

Paso 4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.1

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$\frac{2 i}{2 + 6 i}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $2$ y $2 + 6 i$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $2$ de $2 i$ .

$\frac{2 (i)}{2 + 6 i}$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (i)}{2 (1) + 6 i}$

Paso 4.2.2.2

Factoriza $2$ de $6 i$ .

$\frac{2 (i)}{2 (1) + 2 (3 i)}$

Paso 4.2.2.3

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (3 i)$ .

$\frac{2 (i)}{2 (1 + 3 i)}$

Paso 4.2.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 i}{2 (1 + 3 i)}$

Paso 4.2.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{i}{1 + 3 i}$

Paso 5

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{i}{1 + 3 i}$ por el conjugado de $1 + 3 i$ para hacer real el denominador.

$\frac{i}{1 + 3 i} \cdot \frac{1 - 3 i}{1 - 3 i}$

Paso 6

Multiplica.

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Paso 6.1

Combinar.

$\frac{i (1 - 3 i)}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Paso 6.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{i \cdot 1 + i (- 3 i)}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Paso 6.2.2

Multiplica $i$ por $1$ .

$\frac{i + i (- 3 i)}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Paso 6.2.3

Multiplica $i (- 3 i)$ .

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Paso 6.2.3.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{i - 3 (i^{1} i)}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Paso 6.2.3.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{i - 3 (i^{1} i^{1})}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Paso 6.2.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{i - 3 i^{1 + 1}}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Paso 6.2.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{i - 3 i^{2}}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Paso 6.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.4.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{i - 3 \cdot - 1}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Paso 6.2.4.2

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{i + 3}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Paso 6.2.5

Reordena $i$ y $3$ .

$\frac{3 + i}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Paso 6.3

Simplifica el denominador.

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Paso 6.3.1

Expande $(1 + 3 i) (1 - 3 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 + i}{1 (1 - 3 i) + 3 i (1 - 3 i)}$

Paso 6.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 + i}{1 \cdot 1 + 1 (- 3 i) + 3 i (1 - 3 i)}$

Paso 6.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 + i}{1 \cdot 1 + 1 (- 3 i) + 3 i \cdot 1 + 3 i (- 3 i)}$

Paso 6.3.2

Simplifica.

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Paso 6.3.2.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{3 + i}{1 + 1 (- 3 i) + 3 i \cdot 1 + 3 i (- 3 i)}$

Paso 6.3.2.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{3 + i}{1 - 3 i + 3 i \cdot 1 + 3 i (- 3 i)}$

Paso 6.3.2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3 + i}{1 - 3 i + 3 i + 3 i (- 3 i)}$

Paso 6.3.2.4

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\frac{3 + i}{1 - 3 i + 3 i - 9 i i}$

Paso 6.3.2.5

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 + i}{1 - 3 i + 3 i - 9 (i^{1} i)}$

Paso 6.3.2.6

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 + i}{1 - 3 i + 3 i - 9 (i^{1} i^{1})}$

Paso 6.3.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 + i}{1 - 3 i + 3 i - 9 i^{1 + 1}}$

Paso 6.3.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 + i}{1 - 3 i + 3 i - 9 i^{2}}$

Paso 6.3.2.9

Suma $- 3 i$ y $3 i$ .

$\frac{3 + i}{1 + 0 - 9 i^{2}}$

Paso 6.3.2.10

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{3 + i}{1 - 9 i^{2}}$

Paso 6.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.3.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{3 + i}{1 - 9 \cdot - 1}$

Paso 6.3.3.2

Multiplica $- 9$ por $- 1$ .

$\frac{3 + i}{1 + 9}$

Paso 6.3.4

Suma $1$ y $9$ .

$\frac{3 + i}{10}$

Paso 7

Divide la fracción $\frac{3 + i}{10}$ en dos fracciones.

$\frac{3}{10} + \frac{i}{10}$