Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} - 2 x - 24}{x^{2} + 7 x + 12} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 6}$

Paso 1

Factoriza $x^{2} - 2 x - 24$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 24$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 6, 4$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 6) (x + 4)}{x^{2} + 7 x + 12} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 6}$

Paso 2

Factoriza $x^{2} + 7 x + 12$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $12$ y cuya suma es $7$ .

$3, 4$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 6) (x + 4)}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 6}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(x - 6) (x + 4)}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 6}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{(x - 6) (x + 4)}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 6}$

Paso 4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $x - 6$ .

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 6) (x + 4)}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 6}$

Paso 4.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 4}{(x + 3) (x + 4)} \cdot ((x + 1) (x - 1))$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x + 4}{(x + 3) (x + 4)} \cdot ((x + 1) (x - 1))$

Paso 4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x + 3} \cdot ((x + 1) (x - 1))$

Paso 5

Expande $(x + 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x + 3} \cdot (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x + 3} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x + 3} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Paso 6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{1}{x + 3} \cdot (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Paso 6.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{x + 3} \cdot (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Paso 6.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{1}{x + 3} \cdot (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Paso 6.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{1}{x + 3} \cdot (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Paso 6.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{x + 3} \cdot (x^{2} - x + x - 1)$

Paso 6.2

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{1}{x + 3} \cdot (x^{2} + 0 - 1)$

Paso 6.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{x + 3} \cdot (x^{2} - 1)$

Paso 7

Multiplica $\frac{1}{x + 3}$ por $x^{2} - 1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x + 3}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x + 3}$

Paso 8.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 3}$