Álgebra Ejemplos

$\frac{2 x}{x^{2} + 4 x + 4} + \frac{x - 1}{x (x + 2)}$

Paso 1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + 4 x + 2^{2}} + \frac{x - 1}{x (x + 2)}$

Paso 1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 1.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{2 x}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{x - 1}{x (x + 2)}$

Paso 1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{2 x}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{x - 1}{x (x + 2)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{2 x}{{(x + 2)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 x}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x - 1}{x (x + 2)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{x - 1}{x (x + 2)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2 x}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x - 1}{x (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $x {(x + 2)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{2 x}{{(x + 2)}^{2}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 x \cdot x}{{(x + 2)}^{2} x} + \frac{x - 1}{x (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{x - 1}{x (x + 2)}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2 x \cdot x}{{(x + 2)}^{2} x} + \frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 2) (x + 2)}$

Paso 4.3

Eleva $x + 2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x \cdot x}{{(x + 2)}^{2} x} + \frac{(x - 1) (x + 2)}{x ({(x + 2)}^{1} (x + 2))}$

Paso 4.4

Eleva $x + 2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x \cdot x}{{(x + 2)}^{2} x} + \frac{(x - 1) (x + 2)}{x ({(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1})}$

Paso 4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x \cdot x}{{(x + 2)}^{2} x} + \frac{(x - 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{1 + 1}}$

Paso 4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 x \cdot x}{{(x + 2)}^{2} x} + \frac{(x - 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{2}}$

Paso 4.7

Reordena los factores de ${(x + 2)}^{2} x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{x {(x + 2)}^{2}} + \frac{(x - 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{2}}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x \cdot x + (x - 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{2}}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + (x - 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{2}}$

Paso 6.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + (x - 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{2}}$

Paso 6.2

Expande $(x - 1) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + x (x + 2) - 1 (x + 2)}{x {(x + 2)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2)}{x {(x + 2)}^{2}}$

Paso 6.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Paso 6.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Paso 6.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Paso 6.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{2 x^{2} + x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Paso 6.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} + x^{2} + 2 x - x - 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Paso 6.3.2

Resta $x$ de $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + x^{2} + x - 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Paso 6.4

Suma $2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} + x - 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Paso 6.5

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 6.5.1.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{3 x^{2} + 1 x - 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Paso 6.5.1.2

Reescribe $1$ como $- 2$ más $3$

$\frac{3 x^{2} + (- 2 + 3) x - 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Paso 6.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 2 x + 3 x - 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Paso 6.5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(3 x^{2} - 2 x) + 3 x - 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Paso 6.5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (3 x - 2) + 1 (3 x - 2)}{x {(x + 2)}^{2}}$

Paso 6.5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 2$ .

$\frac{(3 x - 2) (x + 1)}{x {(x + 2)}^{2}}$