Álgebra Ejemplos

$\frac{4}{x + 5} = \frac{3 x}{x^{2} - 4}$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{4}{x + 5} = \frac{3 x}{x^{2} - 2^{2}}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{4}{x + 5} = \frac{3 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 2

Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción. Establece esto igual al producto del denominador de la primera fracción y al numerador de la segunda fracción.

$4 ((x + 2) (x - 2)) = (x + 5) (3 x)$

Paso 3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.1

Simplifica $4 (x + 2) (x - 2)$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + 4 (x + 2) (x - 2) = (x + 5) \cdot (3 x)$

Paso 3.1.2

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(4 x + 4 \cdot 2) (x - 2) = (x + 5) \cdot (3 x)$

Paso 3.1.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$(4 x + 8) (x - 2) = (x + 5) \cdot (3 x)$

Paso 3.1.3

Expande $(4 x + 8) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x (x - 2) + 8 (x - 2) = (x + 5) \cdot (3 x)$

Paso 3.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 + 8 (x - 2) = (x + 5) \cdot (3 x)$

Paso 3.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2 = (x + 5) \cdot (3 x)$

Paso 3.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2 = (x + 5) \cdot (3 x)$

Paso 3.1.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 x^{2} + 4 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2 = (x + 5) \cdot (3 x)$

Paso 3.1.4.1.2

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$4 x^{2} - 8 x + 8 x + 8 \cdot - 2 = (x + 5) \cdot (3 x)$

Paso 3.1.4.1.3

Multiplica $8$ por $- 2$ .

$4 x^{2} - 8 x + 8 x - 16 = (x + 5) \cdot (3 x)$

Paso 3.1.4.2

Suma $- 8 x$ y $8 x$ .

$4 x^{2} + 0 - 16 = (x + 5) \cdot (3 x)$

Paso 3.1.4.3

Suma $4 x^{2}$ y $0$ .

$4 x^{2} - 16 = (x + 5) \cdot (3 x)$

Paso 3.2

Simplifica $(x + 5) \cdot (3 x)$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} - 16 = x (3 x) + 5 (3 x)$

Paso 3.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 x^{2} - 16 = 3 x \cdot x + 5 (3 x)$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$4 x^{2} - 16 = 3 x \cdot x + 15 x$

Paso 3.2.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.3.1

Mueve $x$ .

$4 x^{2} - 16 = 3 (x \cdot x) + 15 x$

Paso 3.2.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 x^{2} - 16 = 3 x^{2} + 15 x$

Paso 3.3

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$3 x^{2} + 15 x = 4 x^{2} - 16$

Paso 3.4

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Resta $4 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} + 15 x - 4 x^{2} = - 16$

Paso 3.4.2

Resta $4 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$- x^{2} + 15 x = - 16$

Paso 3.5

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} + 15 x + 16 = 0$

Paso 3.6

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.6.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2} + 15 x + 16$ .

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Paso 3.6.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 15 x + 16 = 0$

Paso 3.6.1.2

Factoriza $- 1$ de $15 x$ .

$- (x^{2}) - (- 15 x) + 16 = 0$

Paso 3.6.1.3

Reescribe $16$ como $- 1 (- 16)$ .

$- (x^{2}) - (- 15 x) - 1 \cdot - 16 = 0$

Paso 3.6.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 15 x)$ .

$- (x^{2} - 15 x) - 1 \cdot - 16 = 0$

Paso 3.6.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - 15 x) - 1 (- 16)$ .

$- (x^{2} - 15 x - 16) = 0$

Paso 3.6.2

Factoriza.

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Paso 3.6.2.1

Factoriza $x^{2} - 15 x - 16$ con el método AC.

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Paso 3.6.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 16$ y cuya suma es $- 15$ .

$- 16, 1$

Paso 3.6.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((x - 16) (x + 1)) = 0$

Paso 3.6.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x - 16) (x + 1) = 0$

Paso 3.7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 16 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 3.8

Establece $x - 16$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.8.1

Establece $x - 16$ igual a $0$ .

$x - 16 = 0$

Paso 3.8.2

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 16$

Paso 3.9

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.9.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 3.9.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 3.10

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (x - 16) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 16, - 1$