Álgebra Ejemplos

$\log_{5} (x^{10}) - \log_{5} (x^{6}) = 21$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{x^{10}}{x^{6}}) = 21$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x^{10}$ y $x^{6}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $x^{6}$ de $x^{10}$ .

$\log_{5} (\frac{x^{6} x^{4}}{x^{6}}) = 21$

Paso 1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$\log_{5} (\frac{x^{6} x^{4}}{x^{6} \cdot 1}) = 21$

Paso 1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\log_{5} (\frac{x^{6} x^{4}}{x^{6} \cdot 1}) = 21$

Paso 1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\log_{5} (\frac{x^{4}}{1}) = 21$

Paso 1.2.2.4

Divide $x^{4}$ por $1$ .

$\log_{5} (x^{4}) = 21$

Paso 2

Escribe en formato exponencial.

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Paso 2.1

Para ecuaciones logarítmicas, $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ tal que $x > 0$ , $b > 0$ y $b \neq 1$ . En este caso, $b = 5$ , $x = x^{4}$ y $y = 21$ .

$b = 5$

$x = x^{4}$

$y = 21$

Paso 2.2

Sustituye los valores de $b$ , $x$ y $y$ en la ecuación $b^{y} = x$ .

$5^{21} = x^{4}$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $x^{4} = 5^{21}$ .

$x^{4} = 5^{21}$

Paso 3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{5^{21}}$

Paso 3.3

Simplifica $\pm \sqrt[4]{5^{21}}$ .

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Paso 3.3.1

Eleva $5$ a la potencia de $21$ .

$x = \pm \sqrt[4]{476837158203125}$

Paso 3.3.2

Reescribe $476837158203125$ como $3125^{4} \cdot 5$ .

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $95367431640625$ de $476837158203125$ .

$x = \pm \sqrt[4]{95367431640625 (5)}$

Paso 3.3.2.2

Reescribe $95367431640625$ como $3125^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{3125^{4} \cdot 5}$

Paso 3.3.3

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm 3125 \sqrt[4]{5}$

Paso 3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3125 \sqrt[4]{5}$

Paso 3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3125 \sqrt[4]{5}$

Paso 3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3125 \sqrt[4]{5}, - 3125 \sqrt[4]{5}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 3125 \sqrt[4]{5}, - 3125 \sqrt[4]{5}$

Forma decimal:

$x = 4672.96494131 \dots, - 4672.96494131 \dots$