Álgebra Ejemplos

$\frac{x - 4}{x + 4} - \frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x}{x^{2} + 3 x - 4}$

Paso 1

Factoriza $x^{2} + 3 x - 4$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $3$ .

$- 1, 4$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x - 4}{x + 4} - \frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x}{(x - 1) (x + 4)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{x - 4}{x + 4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x - 4}{x + 4} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x}{(x - 1) (x + 4)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{x + 1}{x - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x - 4}{x + 4} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x}{(x - 1) (x + 4)}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 4) (x - 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{x - 4}{x + 4}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - \frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x}{(x - 1) (x + 4)}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{x + 1}{x - 1}$ por $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - \frac{(x + 1) (x + 4)}{(x - 1) (x + 4)} + \frac{x}{(x - 1) (x + 4)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x - 1) (x + 4)$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - \frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 4) (x - 1)} + \frac{x}{(x - 1) (x + 4)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x - 4) (x - 1) - (x + 1) (x + 4)}{(x + 4) (x - 1)} + \frac{x}{(x - 1) (x + 4)}$

Paso 5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x - 4) (x - 1) - (x + 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Expande $(x - 4) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x - 1) - 4 (x - 1) - (x + 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Paso 6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 4 (x - 1) - (x + 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Paso 6.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Paso 6.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Paso 6.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{x^{2} - x - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x - 4 x + 4 - (x + 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Paso 6.2.2

Resta $4 x$ de $- x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - (x + 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Paso 6.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 + (- x - 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Paso 6.5

Expande $(- x - 1) (x + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x (x + 4) - 1 (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Paso 6.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x \cdot x - x \cdot 4 - 1 (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Paso 6.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x \cdot x - x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4 + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Paso 6.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.6.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.6.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - (x \cdot x) - x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4 + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Paso 6.6.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x^{2} - x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4 + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Paso 6.6.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x^{2} - 4 x - 1 x - 1 \cdot 4 + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Paso 6.6.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x^{2} - 4 x - x - 1 \cdot 4 + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Paso 6.6.1.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x^{2} - 4 x - x - 4 + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Paso 6.6.2

Resta $x$ de $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x^{2} - 5 x - 4 + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Paso 7

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 7.1

Combina los términos opuestos en $x^{2} - 5 x + 4 - x^{2} - 5 x - 4 + x$ .

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Paso 7.1.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- 5 x + 4 + 0 - 5 x - 4 + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Paso 7.1.2

Suma $- 5 x + 4$ y $0$ .

$\frac{- 5 x + 4 - 5 x - 4 + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Paso 7.1.3

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{- 5 x - 5 x + 0 + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Paso 7.1.4

Suma $- 5 x - 5 x$ y $0$ .

$\frac{- 5 x - 5 x + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Paso 7.2

Resta $5 x$ de $- 5 x$ .

$\frac{- 10 x + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Paso 7.3

Suma $- 10 x$ y $x$ .

$\frac{- 9 x}{(x + 4) (x - 1)}$

Paso 7.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{9 x}{(x + 4) (x - 1)}$