Álgebra Ejemplos

$\frac{m}{m + 4} + \frac{4}{4 - m} = \frac{m^{2}}{m^{2} - 16}$

Paso 1

Factoriza cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{m}{m + 4} + \frac{4}{4 - m} = \frac{m^{2}}{m^{2} - 4^{2}}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = m$ y $b = 4$ .

$\frac{m}{m + 4} + \frac{4}{4 - m} = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)}$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$m + 4, 4 - m, (m + 4) (m - 4)$

Paso 2.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.3

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.4

El MCM de $1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 2.5

El factor para $m + 4$ es $m + 4$ en sí mismo.

$(m + 4) = m + 4$

$(m + 4)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.6

El factor para $4 - m$ es $4 - m$ en sí mismo.

$(4 - m) = 4 - m$

$(4 - m)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.7

El factor para $m + 4$ es $m + 4$ en sí mismo.

$(m + 4) = m + 4$

$(m + 4)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.8

El factor para $m - 4$ es $m - 4$ en sí mismo.

$(m - 4) = m - 4$

$(m - 4)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.9

El MCM de $m + 4, 4 - m, m + 4, m - 4$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$(m + 4) (4 - m) (m - 4)$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{m}{m + 4} + \frac{4}{4 - m} = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)}$ por $(m + 4) (4 - m) (m - 4)$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{m}{m + 4} + \frac{4}{4 - m} = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)}$ por $(m + 4) (4 - m) (m - 4)$ .

$\frac{m}{m + 4} ((m + 4) (4 - m) (m - 4)) + \frac{4}{4 - m} ((m + 4) (4 - m) (m - 4)) = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)} ((m + 4) (4 - m) (m - 4))$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común de $m + 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.1

Factoriza $m + 4$ de $(m + 4) (4 - m) (m - 4)$ .

$\frac{m}{m + 4} ((m + 4) ((4 - m) (m - 4))) + \frac{4}{4 - m} ((m + 4) (4 - m) (m - 4)) = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)} ((m + 4) (4 - m) (m - 4))$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{m}{m + 4} ((m + 4) ((4 - m) (m - 4))) + \frac{4}{4 - m} ((m + 4) (4 - m) (m - 4)) = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)} ((m + 4) (4 - m) (m - 4))$

Paso 3.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$m ((4 - m) (m - 4)) + \frac{4}{4 - m} ((m + 4) (4 - m) (m - 4)) = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)} ((m + 4) (4 - m) (m - 4))$

Paso 3.2.1.2

Reescribe $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$m ((- 1 (- 4) - m) (m - 4)) + \frac{4}{4 - m} ((m + 4) (4 - m) (m - 4)) = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)} ((m + 4) (4 - m) (m - 4))$

Paso 3.2.1.3

Factoriza $- 1$ de $- m$ .

$m ((- 1 (- 4) - (m)) (m - 4)) + \frac{4}{4 - m} ((m + 4) (4 - m) (m - 4)) = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)} ((m + 4) (4 - m) (m - 4))$

Paso 3.2.1.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 4) - (m)$ .

$m (- 1 (- 4 + m) (m - 4)) + \frac{4}{4 - m} ((m + 4) (4 - m) (m - 4)) = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)} ((m + 4) (4 - m) (m - 4))$

Paso 3.2.1.5

Reordena los términos.

$m (- 1 (m - 4) (m - 4)) + \frac{4}{4 - m} ((m + 4) (4 - m) (m - 4)) = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)} ((m + 4) (4 - m) (m - 4))$

Paso 3.2.1.6

Eleva $m - 4$ a la potencia de $1$ .

$m (- 1 ({(m - 4)}^{1} (m - 4))) + \frac{4}{4 - m} ((m + 4) (4 - m) (m - 4)) = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)} ((m + 4) (4 - m) (m - 4))$

Paso 3.2.1.7

Eleva $m - 4$ a la potencia de $1$ .

$m (- 1 ({(m - 4)}^{1} {(m - 4)}^{1})) + \frac{4}{4 - m} ((m + 4) (4 - m) (m - 4)) = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)} ((m + 4) (4 - m) (m - 4))$

Paso 3.2.1.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$m (- 1 {(m - 4)}^{1 + 1}) + \frac{4}{4 - m} ((m + 4) (4 - m) (m - 4)) = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)} ((m + 4) (4 - m) (m - 4))$

Paso 3.2.1.9

Suma $1$ y $1$ .

$m (- 1 {(m - 4)}^{2}) + \frac{4}{4 - m} ((m + 4) (4 - m) (m - 4)) = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)} ((m + 4) (4 - m) (m - 4))$

Paso 3.2.1.10

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- m {(m - 4)}^{2} + \frac{4}{4 - m} ((m + 4) (4 - m) (m - 4)) = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)} ((m + 4) (4 - m) (m - 4))$

Paso 3.2.1.11

Cancela el factor común de $4 - m$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.11.1

Factoriza $4 - m$ de $(m + 4) (4 - m) (m - 4)$ .

$- m {(m - 4)}^{2} + \frac{4}{4 - m} ((4 - m) ((m + 4) (m - 4))) = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)} ((m + 4) (4 - m) (m - 4))$

Paso 3.2.1.11.2

Cancela el factor común.

$- m {(m - 4)}^{2} + \frac{4}{4 - m} ((4 - m) ((m + 4) (m - 4))) = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)} ((m + 4) (4 - m) (m - 4))$

Paso 3.2.1.11.3

Reescribe la expresión.

$- m {(m - 4)}^{2} + 4 ((m + 4) (m - 4)) = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)} ((m + 4) (4 - m) (m - 4))$

Paso 3.2.1.12

Expande $(m + 4) (m - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- m {(m - 4)}^{2} + 4 (m (m - 4) + 4 (m - 4)) = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)} ((m + 4) (4 - m) (m - 4))$

Paso 3.2.1.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- m {(m - 4)}^{2} + 4 (m \cdot m + m \cdot - 4 + 4 (m - 4)) = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)} ((m + 4) (4 - m) (m - 4))$

Paso 3.2.1.12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- m {(m - 4)}^{2} + 4 (m \cdot m + m \cdot - 4 + 4 m + 4 \cdot - 4) = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)} ((m + 4) (4 - m) (m - 4))$

Paso 3.2.1.13

Combina los términos opuestos en $m \cdot m + m \cdot - 4 + 4 m + 4 \cdot - 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.13.1

Reordena los factores en los términos $m \cdot - 4$ y $4 m$ .

$- m {(m - 4)}^{2} + 4 (m \cdot m - 4 m + 4 m + 4 \cdot - 4) = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)} ((m + 4) (4 - m) (m - 4))$

Paso 3.2.1.13.2

Suma $- 4 m$ y $4 m$ .

$- m {(m - 4)}^{2} + 4 (m \cdot m + 0 + 4 \cdot - 4) = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)} ((m + 4) (4 - m) (m - 4))$

Paso 3.2.1.13.3

Suma $m \cdot m$ y $0$ .

$- m {(m - 4)}^{2} + 4 (m \cdot m + 4 \cdot - 4) = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)} ((m + 4) (4 - m) (m - 4))$

Paso 3.2.1.14

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.14.1

Multiplica $m$ por $m$ .

$- m {(m - 4)}^{2} + 4 (m^{2} + 4 \cdot - 4) = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)} ((m + 4) (4 - m) (m - 4))$

Paso 3.2.1.14.2

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$- m {(m - 4)}^{2} + 4 (m^{2} - 16) = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)} ((m + 4) (4 - m) (m - 4))$

Paso 3.2.1.15

Aplica la propiedad distributiva.

$- m {(m - 4)}^{2} + 4 m^{2} + 4 \cdot - 16 = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)} ((m + 4) (4 - m) (m - 4))$

Paso 3.2.1.16

Multiplica $4$ por $- 16$ .

$- m {(m - 4)}^{2} + 4 m^{2} - 64 = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)} ((m + 4) (4 - m) (m - 4))$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común de $(m + 4) (m - 4)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1.1

Factoriza $(m + 4) (m - 4)$ de $(m + 4) (4 - m) (m - 4)$ .

$- m {(m - 4)}^{2} + 4 m^{2} - 64 = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)} ((m + 4) (m - 4) (4 - m))$

Paso 3.3.1.1.2

Cancela el factor común.

$- m {(m - 4)}^{2} + 4 m^{2} - 64 = \frac{m^{2}}{(m + 4) (m - 4)} ((m + 4) (m - 4) (4 - m))$

Paso 3.3.1.1.3

Reescribe la expresión.

$- m {(m - 4)}^{2} + 4 m^{2} - 64 = m^{2} (4 - m)$

Paso 3.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- m {(m - 4)}^{2} + 4 m^{2} - 64 = m^{2} \cdot 4 + m^{2} (- m)$

Paso 3.3.1.3

Reordena.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $m^{2}$ .

$- m {(m - 4)}^{2} + 4 m^{2} - 64 = 4 \cdot m^{2} + m^{2} (- m)$

Paso 3.3.1.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- m {(m - 4)}^{2} + 4 m^{2} - 64 = 4 \cdot m^{2} - m^{2} m$

Paso 3.3.2

Multiplica $m^{2}$ por $m$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Mueve $m$ .

$- m {(m - 4)}^{2} + 4 m^{2} - 64 = 4 m^{2} - (m \cdot m^{2})$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $m$ por $m^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.1

Eleva $m$ a la potencia de $1$ .

$- m {(m - 4)}^{2} + 4 m^{2} - 64 = 4 m^{2} - (m^{1} m^{2})$

Paso 3.3.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- m {(m - 4)}^{2} + 4 m^{2} - 64 = 4 m^{2} - m^{1 + 2}$

Paso 3.3.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$- m {(m - 4)}^{2} + 4 m^{2} - 64 = 4 m^{2} - m^{3}$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan $m$ al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Resta $4 m^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- m {(m - 4)}^{2} + 4 m^{2} - 64 - 4 m^{2} = - m^{3}$

Paso 4.1.2

Suma $m^{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$- m {(m - 4)}^{2} + 4 m^{2} - 64 - 4 m^{2} + m^{3} = 0$

Paso 4.1.3

Combina los términos opuestos en $- m {(m - 4)}^{2} + 4 m^{2} - 64 - 4 m^{2} + m^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1

Resta $4 m^{2}$ de $4 m^{2}$ .

$- m {(m - 4)}^{2} + 0 - 64 + m^{3} = 0$

Paso 4.1.3.2

Suma $- m {(m - 4)}^{2}$ y $0$ .

$- m {(m - 4)}^{2} - 64 + m^{3} = 0$

Paso 4.1.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.1

Reescribe ${(m - 4)}^{2}$ como $(m - 4) (m - 4)$ .

$- m ((m - 4) (m - 4)) - 64 + m^{3} = 0$

Paso 4.1.4.2

Expande $(m - 4) (m - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- m (m (m - 4) - 4 (m - 4)) - 64 + m^{3} = 0$

Paso 4.1.4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- m (m \cdot m + m \cdot - 4 - 4 (m - 4)) - 64 + m^{3} = 0$

Paso 4.1.4.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- m (m \cdot m + m \cdot - 4 - 4 m - 4 \cdot - 4) - 64 + m^{3} = 0$

Paso 4.1.4.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.3.1.1

Multiplica $m$ por $m$ .

$- m (m^{2} + m \cdot - 4 - 4 m - 4 \cdot - 4) - 64 + m^{3} = 0$

Paso 4.1.4.3.1.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $m$ .

$- m (m^{2} - 4 \cdot m - 4 m - 4 \cdot - 4) - 64 + m^{3} = 0$

Paso 4.1.4.3.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$- m (m^{2} - 4 m - 4 m + 16) - 64 + m^{3} = 0$

Paso 4.1.4.3.2

Resta $4 m$ de $- 4 m$ .

$- m (m^{2} - 8 m + 16) - 64 + m^{3} = 0$

Paso 4.1.4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- m \cdot m^{2} - m (- 8 m) - m \cdot 16 - 64 + m^{3} = 0$

Paso 4.1.4.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.5.1

Multiplica $m$ por $m^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.5.1.1

Mueve $m^{2}$ .

$- (m^{2} m) - m (- 8 m) - m \cdot 16 - 64 + m^{3} = 0$

Paso 4.1.4.5.1.2

Multiplica $m^{2}$ por $m$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.5.1.2.1

Eleva $m$ a la potencia de $1$ .

$- (m^{2} m^{1}) - m (- 8 m) - m \cdot 16 - 64 + m^{3} = 0$

Paso 4.1.4.5.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- m^{2 + 1} - m (- 8 m) - m \cdot 16 - 64 + m^{3} = 0$

Paso 4.1.4.5.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$- m^{3} - m (- 8 m) - m \cdot 16 - 64 + m^{3} = 0$

Paso 4.1.4.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- m^{3} - 1 \cdot - 8 m \cdot m - m \cdot 16 - 64 + m^{3} = 0$

Paso 4.1.4.5.3

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$- m^{3} - 1 \cdot - 8 m \cdot m - 16 m - 64 + m^{3} = 0$

Paso 4.1.4.6

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.6.1

Multiplica $m$ por $m$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.6.1.1

Mueve $m$ .

$- m^{3} - 1 \cdot - 8 (m \cdot m) - 16 m - 64 + m^{3} = 0$

Paso 4.1.4.6.1.2

Multiplica $m$ por $m$ .

$- m^{3} - 1 \cdot - 8 m^{2} - 16 m - 64 + m^{3} = 0$

Paso 4.1.4.6.2

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$- m^{3} + 8 m^{2} - 16 m - 64 + m^{3} = 0$

Paso 4.1.5

Combina los términos opuestos en $- m^{3} + 8 m^{2} - 16 m - 64 + m^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.5.1

Suma $- m^{3}$ y $m^{3}$ .

$8 m^{2} - 16 m - 64 + 0 = 0$

Paso 4.1.5.2

Suma $8 m^{2} - 16 m - 64$ y $0$ .

$8 m^{2} - 16 m - 64 = 0$

Paso 4.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Factoriza $8$ de $8 m^{2} - 16 m - 64$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Factoriza $8$ de $8 m^{2}$ .

$8 (m^{2}) - 16 m - 64 = 0$

Paso 4.2.1.2

Factoriza $8$ de $- 16 m$ .

$8 (m^{2}) + 8 (- 2 m) - 64 = 0$

Paso 4.2.1.3

Factoriza $8$ de $- 64$ .

$8 m^{2} + 8 (- 2 m) + 8 \cdot - 8 = 0$

Paso 4.2.1.4

Factoriza $8$ de $8 m^{2} + 8 (- 2 m)$ .

$8 (m^{2} - 2 m) + 8 \cdot - 8 = 0$

Paso 4.2.1.5

Factoriza $8$ de $8 (m^{2} - 2 m) + 8 \cdot - 8$ .

$8 (m^{2} - 2 m - 8) = 0$

Paso 4.2.2

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Factoriza $m^{2} - 2 m - 8$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 4, 2$

Paso 4.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$8 ((m - 4) (m + 2)) = 0$

Paso 4.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$8 (m - 4) (m + 2) = 0$

Paso 4.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$m - 4 = 0$

$m + 2 = 0$

Paso 4.4

Establece $m - 4$ igual a $0$ y resuelve $m$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1

Establece $m - 4$ igual a $0$ .

$m - 4 = 0$

Paso 4.4.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$m = 4$

Paso 4.5

Establece $m + 2$ igual a $0$ y resuelve $m$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.1

Establece $m + 2$ igual a $0$ .

$m + 2 = 0$

Paso 4.5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$m = - 2$

Paso 4.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $8 (m - 4) (m + 2) = 0$ verdadera.

$m = 4, - 2$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{m}{m + 4} + \frac{4}{4 - m} = \frac{m^{2}}{m^{2} - 16}$ sea verdadera.

$m = - 2$