Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} - 4}{x^{3} + 7 x^{2}} \div \frac{x^{3} - x^{2} - 6 x}{x^{2} + 4 x - 21}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{x^{2} - 4}{x^{3} + 7 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 21}{x^{3} - x^{2} - 6 x}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{x^{3} + 7 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 21}{x^{3} - x^{2} - 6 x}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{3} + 7 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 21}{x^{3} - x^{2} - 6 x}$

Paso 3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3} + 7 x^{2}$ .

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Paso 3.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} x + 7 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 21}{x^{3} - x^{2} - 6 x}$

Paso 3.2

Factoriza $x^{2}$ de $7 x^{2}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} x + x^{2} \cdot 7} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 21}{x^{3} - x^{2} - 6 x}$

Paso 3.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot 7$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 21}{x^{3} - x^{2} - 6 x}$

Paso 4

Factoriza $x^{2} + 4 x - 21$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 21$ y cuya suma es $4$ .

$- 3, 7$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x^{3} - x^{2} - 6 x}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - x^{2} - 6 x$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x \cdot x^{2} - x^{2} - 6 x}$

Paso 5.1.2

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x \cdot x^{2} + x (- x) - 6 x}$

Paso 5.1.3

Factoriza $x$ de $- 6 x$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot - 6}$

Paso 5.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- x)$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x (x^{2} - x) + x \cdot - 6}$

Paso 5.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} - x) + x \cdot - 6$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x (x^{2} - x - 6)}$

Paso 5.2

Factoriza $x^{2} - x - 6$ con el método AC.

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Paso 5.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 3, 2$

Paso 5.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x ((x - 3) (x + 2))}$

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x (x - 3) (x + 2)}$

Paso 6

Combinar.

$\frac{(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x^{2} (x + 7) (x (x - 3) (x + 2))}$

Paso 7

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1

Mueve $x$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x \cdot x^{2} (x + 7) ((x - 3) (x + 2))}$

Paso 7.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 7.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x^{1} x^{2} (x + 7) ((x - 3) (x + 2))}$

Paso 7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x^{1 + 2} (x + 7) ((x - 3) (x + 2))}$

Paso 7.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x^{3} (x + 7) ((x - 3) (x + 2))}$

Paso 8

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 8.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x^{3} (x + 7) ((x - 3) (x + 2))}$

Paso 8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x^{3} (x + 7) (x - 3)}$

Paso 9

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 9.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x^{3} (x + 7) (x - 3)}$

Paso 9.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 2) (x + 7)}{x^{3} (x + 7)}$

Paso 10

Cancela el factor común de $x + 7$ .

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Paso 10.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 2) (x + 7)}{x^{3} (x + 7)}$

Paso 10.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 2}{x^{3}}$

Paso 11

Divide la fracción $\frac{x - 2}{x^{3}}$ en dos fracciones.

$\frac{x}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{3}}$

Paso 12

Cancela el factor común de $x$ y $x^{3}$ .

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Paso 12.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1}}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{3}}$

Paso 12.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{3}}$

Paso 12.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.3.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 2}{x^{3}}$

Paso 12.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 2}{x^{3}}$

Paso 12.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{3}}$

Paso 13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$